Bestimmen Sie die Länge des Kurvenstücks von A(1,0,0) nach B(0, √{3}, 1) .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 10. Gegeben ist die Kurve \( K \subset \mathbb{R}^{3} \) durch:
\( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} 1-t \\ \sqrt{3} t \\ \sqrt{t^{3}} \end{array}\right) \quad, \quad t \geq 0 . \)
Bestimmen Sie die Länge des Kurvenstücks von \( A(1,0,0) \) nach \( B(0, \sqrt{3}, 1) \).
Lösung. Der Punkt \( A \) entspricht dem Parameterwert \( t_{0}=0 \) und der Punkt \( B(0, \sqrt{3}, 1) \) dem Parameterwert \( t_{1}=1 \).
\( \begin{array}{l} \text { Ferner gilt: } \gamma^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ \sqrt{3} \\ \frac{3}{2} \sqrt{t} \end{array}\right) \Longrightarrow\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{1+3+\frac{9}{4} t}=\frac{1}{2} \sqrt{16+9 t} \\ L=\int \limits_{0}^{1}\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| d t=\frac{1}{2} \int \limits_{0}^{1} \sqrt{16+9 t} d t=\left.\frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{1}{9}(16+9 t)^{3 / 2}\right|_{0} ^{1}=\frac{125-64}{27}=\frac{61}{27} . \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Die Lösung der Aufgabe liegt mir vor(wie man auf dem Bild erkennen kann). Allerdings kann ich diese größtenteils nicht nachvollziehen und würde mir zu den einzelnen Schritten Erklärungen wünschen. Zunächst mal ist der Beginn für mich nachvollziehbar. Wir erhalten A für t=0 und b für t=1. Wo es für mich schwierig wird ist das was nach γ´ folgt. Wie komme ich auf -1, \( \sqrt{3} \) und 3/2 \( \sqrt{t} \)? Damit sind doch nicht die Ableitungen gemeint oder? Und auch im weiteren Verlauf, wie kommt man da auf die große Wurzel und danach darauf 1/2 nach vorne zu ziehen? Vielleicht kann da jemand von euch etwas Licht ins Dunkle bringen?

Danke.

Answer 1

Wie komme ich auf -1, \( \sqrt{3} \) und 3/2 \( \sqrt{t} \)? Damit sind doch nicht die Ableitungen gemeint oder? DOCH !

\( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} 1-t \\ \sqrt{3} t \\ \sqrt{t^{3}} \end{array}\right) \quad, \quad t \geq 0 . \)

gibt bei Ableitung der einzelnen Komponenten \( \gamma^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ \sqrt{3} \\ \frac{3}{2} \sqrt{t} \end{array}\right)\)

Dann geht es um den Betrag dieses Vektors. Wenn die Koponenten x,y,z sind

ist das ja √(x^2 + y^2 +z^2)  , hier eben entsprechend eingesetzt.

Das 1/2 nach vorne ziehen ist nur gemacht, damit in der Wurzel keine Brüche

mehr sind, muss aber nicht sein.

Comments

ja stimmt, da muss man aber ordentlich umformen... Dann macht es ja so halbwegs Sinn...

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Eine Frage habe ich dann doch noch: Wie komme ich in der vorletzten Zeile von \( \sqrt{1+3+9/4t} \) auf 1/2 \( \sqrt{16+9t} \)? Ich weiß nicht wie man das dazu umformen kann...