- ist tan(x) konvex 0 π/2?

Question

Aufgabe:

-Zeigen Sie mit hilfe Der Diferentialrechnung (Kritieren der Montonie), dass tan(x)-x >= 0 für alle 0 < x < π/2 erfüült ist .

- ist tan(x) konvex 0 < x < π/2 ?

Problem/Ansatz ?

kann jemand Hinweise dazu geben ?

Danke im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$f(x)\coloneqq\tan(x)-x\quad;\quad x\in\left[0\bigg|\frac\pi2\right)$$

Über ihr Monotonieverhalten gibt das Vorzeichen der ersten Ableitung Auskunft:$$f'(x)=\left(\frac{\sin x}{\cos x}-x\right)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}-1=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}-1$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-1=1+\tan^2(x)-1=\tan^2(x)>0\quad\text{für }x\in\left(0\bigg|\frac\pi2\right)$$Die Funktion \(f(x)\) ist also streng monoton wachsend für \(x\in(0\big|\frac\pi2)\).

Da \(f(x)\) in \(x=0\) stetig ist, gilt insbesondere \(f(x)\ge f(0)=0\). Daher gilt:$$\tan(x)-x\ge 0\quad\text{für }x\in\left[0\bigg|\frac\pi2\right)$$

Über das Krümmungsverhalten einer Funktion gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung Auskunft. Der Rechnung aus dem ersten Teil entnehmen wir die erste Ableitung der Tangens-Funktion:$$\tan'(x)=1+\tan^2(x)=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$$Mit der Kettenregel folgt daraus zweite Ableitung:$$\tan''(x)=\left(\cos^{-2}x\right)'=-2\cos^{-3}x\cdot(-\sin x)=\frac{2\sin x}{\cos^3x}=\frac{2\tan x}{\cos^2x}>0\quad\text{für }x\in\left(0\bigg|\frac\pi2\right)$$

Die \(\tan\)-Funktion ist also für \(x\in\left(0\big|\frac\pi2\right)\) linksgekrümmt, also konvex.

Answer 2

tan(x) - x >= 0

Zeige das die Gleichung für x = 0 erfüllt ist und das im gegebenen Intervall tan(x) mindestens so schnell steigt wie x.

1/COS(x)^2 ≥ 1
1 ≥ COS(x)^2
COS(x)^2 ≤ 1

Das ist mit |COS(x)| ≤ 1 sicher erfüllt.

Answer 3

Text erkannt:

\( \tan x\left\{\begin{array}{ll}>x & \text { für } \quad 0<x<\frac{\pi}{2}, \\ <x & \text { für }-\frac{\pi}{2}<x<0 .\end{array}\right. \)

ich hoffe kann dir weiter helfen

Text erkannt:

Solution:-
\( \begin{array}{l} \text { Given, } \tan x+\cot x=z \text {. } \\ \Rightarrow \tan x+\frac{1}{\tan x}-2=0 \\ \Rightarrow \tan ^{2} x-2 \tan x+1=-0 \\ \Rightarrow(\tan x-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow \tan -1=0 \\ \Rightarrow \tan x=1 \\ \Rightarrow \tan x=\tan \frac{\pi}{4} \text {. } \\ \therefore \quad x=n \pi+\frac{\pi}{4} \quad[A, \text { if }, \tan \theta=\tan \alpha \\ \forall n \in z \text { An } \quad \Rightarrow \theta=n \pi+\infty] \\ \end{array} \)