Fläche unter 1/x bestimmen

Question

Für mich stellt sich die Frage, wie man die Fläche, die von dem Graphen der Funktion g und der x-Achse eingeschlossen wird, berechnet.

g(x)=x^-1

Mir ist klar, dass die Stammfunktion dieser Funktion der natürliche Logarithmus ist. Daher weiß ich auch, wie man diese Fläche ganz einfach ermitteln kann.

Mein Problem besteht darin die Fläche mithilfe der Untersumme bzw. die Obersumme zu bestimmen.

Mein Ansatz:

O_n=∑ g(x)*Δx

=g(0)*Δx+g(1)*Δx ... g(n*Δx)*Δx

=Δx ( ....................g(n*Δx))

=b/n (......................(n*Δx)^-1

usw.

Da der Kehrwert von b/n   n/b ist und ich am Ende den Limes n gegen unendlich berechnen muss, geht bei mir alles immer gegen unendlich.

Da muss bei mir irgendwo ein großer Denkfehler liegen. Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Comments

f(x) = 1/x

F(x) = ln(x)

Nehmen wir jetzt mal das uneigentliche Integral von 1 bis ∞. Dann berechnet sich die Fläche aus
LN(∞) - LN(1) = ∞ - 0 = ∞

Die Fläche geht hier also gegen unendlich. Achtung Mathematisch ist es unkorrekt notiert. Ich habe das nur so geschrieben damit es deutlicher wird. Eigentlich wäre hier den Grenzwert limes zu bilden.
Nehmen wir jetzt mal das uneigentliche Integral von 0 bis 1. Dann berechnet sich die Fläche aus
LN(1) - LN(0) = 0 - (-∞) = ∞

Die Fläche geht also auch hier ins unendliche.

Mir ist jetzt nicht ganz klar, was du für einen Flächeninhalt erwartest, wenn du die Ober und Untersummen benutzt?

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Ja, das ist richtig. Die Fläche unter dem Graphen geht gegen unendlich. Das stimmt schon. Aber wie berechnet man z.B. die Fläche von 1 bis 2 (als Integrationsgrenzen) ohne der Stammfunktion (also dem Logarithmus)?

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Das hilft mir leider gar nicht!

Das war mir schon zuvor mehr als bewusst.

Meine Konkrete Frage wird in dem Kommentar oberhalb deutlich.

Answer 1

Du darfst in =g(0)*Δx+g(1)*Δx ... g(n*Δx)*Δx

nicht mit x=0 beginnen.

Sei nun 1 ≤ x≤2

1. Näherung ein Rechteck:

Obersumme: 1*1 = 1

Untersumme: 1*1/2 = 1/2

2. Näherung: Zwei Rechtecke:

Obersumme: 1/2* 1 + 1/2*1/(1.5) = 1/2 + 1/2 * 2/3 = 1/2 + 1/3 = 5/6 =0.833333

Untersumme: 1/2*1/1.5 + 1/2*1/2 = 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 = 0.5833333

usw. bis du nahe genug bei ln 2 - ln1 = ln 2 = 0.6931 bist.