Uneigentliches Integral richtig bestimmen

Question

Hallo!

Es handelt sich wieder um uneigentliches Integral. Könnte mir jemand eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe? Muss man hier das Integral aufsplittern oder kann ich da so durchintegrieren?

Aufgabe: Konvergieren die folgenden uneigentlichen Integrale?

i) \( \begin{array}{l}\int \limits_{4}^{\infty} \frac{2 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{4}^{b} \frac{2 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}} d x \\ u=x^{2}-4 \\ \frac{d u}{d x}=2 x \\ d u=2 x \cdot d x \\ d x=\frac{1}{2 x} d u \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{4}^{b} \frac{2 x}{u^{2}} \cdot 2 x d u=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{4}^{b} \frac{1}{u^{2}} d u \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{u}\right]_{4}^{b}=\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x^{2}-4}\right]_{4}^{b}= \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{b^{2}-4}\right. \\ \left.=:-0+\frac{1}{16-4}\right]= \\ =0+\frac{1}{12}=\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Habe ich die Aufgabe richtig gelöst?

Answer 1

Aloha :)

Du hast die Substitutionsvariable \(u=x^2-4\) eingeführt, daher musst du auch die Integrationsgrenzen an die neue Variable anpassen. Die untere Grenze müsste daher \(u(x=4)=12\) sein, die obere Grenze bleibt unendlich.

Du kannst auch ohne Einführung einer neuen Variable "substituieren":

$$\int\limits_4^\infty\frac{2x}{(x^2-4)^2}\,dx\stackrel{d(x^2)=2x\,dx}{=}\int\limits_{4}^\infty\frac{1}{(x^2-4)^2}\,d(x^2)=\left[-\frac{1}{x^2-4}\right]_4^\infty=0-\left(-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12}$$

Comments

Aber ich hab ja wieder rücksubstituiert, sodass die Grenzen nicht mehr angepasst werden müssen. Also angenommen ich substituiere, dann kann ich ja wieder rücksubstituieren und somit brauche ich die Grenzen ja nicht mehr anpassen.

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Du hast das Integral aber falsch aufgeschrieben:$$\int\limits_4^b\frac{1}{u^2}\,du\quad\text{muss heißen:}\quad\int\limits_{12}^b\frac{1}{u^2}\,du$$Wenn du als Integrationsvarible \(u\) angibst, musst du auch die Grenzen entsprechend setzen.

Du hättest die Grenzen und den Limes davor ganz weglassen können. Dann ist klar, dass du zunächst allgemein eine Stammfunktion bestimmst.

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Achso, verstehe.

Und wenn ich das ganze so aufschreiben würde? Wäre das auch korrekt? Damit ich nicht immer die Grenzen anpassen muss quasi

\( \lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{u}\right] =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x^{2}-4}\right]_{4}^{b} \)

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Dann stimmt der Teil rechts vom Gleichheitszeichen, aber links davon fehlt ein \(b\), das man gegen unendlich schicken kann. Da steht nur \((-\frac{1}{u})\), kein \(b\).

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Achso verstehe, deshalb muss ich immer die Grenzen anpassen, wenn ich sowas wie -1/u habe oder ich schreibe ohne den limes und ohne die Grenzen einfach nur (-1/u) und dann der ganze kram mit dem limes, oder?

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Ja, so wäre das sauber aufgeschrieben...

Aus so Kleinkram musst du achten, denn sonst machst du dir deine gute Idee kaputt und lässt Punkte liegen.

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Alles klar. Ich hab‘s nun erneut ausgerechnet und die Grenzen angepasst. So sieht nun die gesamte Rechnung aus:

\( \begin{array}{l}\text { f) } \int \limits_{4}^{\infty} \frac{2 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}} d x= \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{4}^{b} \frac{2 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{1}^{b^{2}-4} \frac{2 x}{\mu^{2}} \cdot \frac{1}{2 x} d u \\ u=x^{2}-4 \Rightarrow \text { grenzen: } u_{2}=b^{2}-4 \\ \frac{d u}{d x}=2 x \quad u_{1}=16-4=12 \\ d u=2 x d x \\ d x=\frac{1}{2 x} d u \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{12}^{b^{2}-4} \frac{1}{u^{2}} d u=\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{u}\right]_{12}^{b^{2}-4}= \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty}[-\underbrace{\frac{1}{b^{2}-4}}_{=0}+\frac{1}{12}]=\frac{1}{12} \\\end{array} \)

Darf ich das ganze so aufschreiben und die Grenze b^2-4 einfach einsetzten?

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Fast richtig...

In Zeile 2 steht das Integral über \(du\) mit der falschen unteren Grenze \(1\).

In der vorletzten Zeile steht die korrekte untere Grenze \(12\) drin.

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Uups genau, das ist wieder wegen der Formatierung.

Aber alles klar soweit :)

Vielen Dank Tschakabumba!

Answer 2

Ja.

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+2x%2F%28x%5E2-4%29%5E2+from+4+to+infinit

Comments

Auch die Schreibweise mit dem lim? Ist das auch korrekt?

Answer 3

Du hast die Aufgabe nicht vollständig korrekt gelöst.

Nach der Substitution müssen die Grenzen des Integrals angepasst werden:

$$\int_4^b \frac{2x}{x^2-4}dx = \int_{\color{blue}{12}}^{b^2-4}\frac 1{u^2}du$$

Mit \(c=b^2-4\) gilt dann

$$\lim_{b\to\infty}\int_4^b \frac{2x}{x^2-4}dx = \lim_{\color{blue}{c\to\infty}}\int_{12}^{c}\frac 1{u^2}du$$

Du kannst zwar dieselbe Variable \(b\) benutzen, aber das ist unsauber und kann bei komplizierteren Substitutionen zu Fehlern führen.

Außerdem ist aufgrund der Nichtanpassung der unteren Grenze die folgende Gleichung falsch:

$$\lim_{b\to\infty}\left[-\frac 1u\right]_{\color{red}4}^b {\color{red}{\neq}} \lim_{b\to\infty}\left[-\frac 1{x^2-4}\right]_{4}^b$$

Nur die Rücksubstitution von u durch x hat dich hier gerettet.

Übrigens ist nach korrekter Substitution mit Anpassung der Integrationsgrenzen gar keine Rücksubstitution erforderlich. Es ist

$$\lim_{b\to\infty}\left[-\frac 1u\right]_{\color{blue}12}^b =\frac 1{\color{blue}{12}}$$

Noch eine grundsätzliche Bemerkung:
Die Aufgabe ist nur, das Integral auf Konvergenz zu untersuchen. Du hast nur Glück gehabt, dass es einfach war, eine Stammfunktion des Integranden zu finden.

Bei vielen solchen Aufgaben zur Konvergenz von Integralen wird das nicht gelingen. Es wäre also hilfreich, sich auch einmal mit Konvergenzkriterien uneigentlicher Integrale zu beschäftigen.

Comments

Vielen vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Aber ich hab ja wieder rücksubstituiert, dann muss ich ja die Grenzen nicht mehr anpassen

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Das ist falsch, solange du die falschen Grenzen dastehen hast. Siehe oben die rot hervorgehobene Stelle.

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Alles klar, ich hab's nun gecheckt :) danke dir!