Kubikwurzel mit rationalen Wert?

Question

Aufgabe:

Ich möchte gern wissen, ob diese Kubikwurzel einen rationalen Wert hat:

\( x^{3} = \dfrac{a(a+1)}{a(a+1)+1} \)

Problem/Ansatz:

Der Quotient ist teilerfremd und der Nenner um genau +1 größer als der Zähler.

Betrachtet man den Zähler und Nenner einzeln, dann ergibt sich für mich folgendes:

Der Zähler ist das Produkt \( a(a+1) \)  aber keine Kubikzahl, denn ich kann hier nicht erkennen, dass eine Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert wird. (ist hier wahrscheinlich ein ganz schlechter Beweis)

Den Nenner \( a(a+1)+1 \) kann man auch so interpretieren: \ ( 1= n^3 - a(a+1) \)

Also müsste die Differenz zweier Kubikzahlen =1 sein, und dann wäre (die einzig mögliche) Kubikzahl \( a(a+1) = 0 \)

Daraus würde sich ergeben, dass letztlich \( x^{3} =0 \) ist, also die triviale Lösung.

Kann man hier so argumentieren bzw. folgern?

Comments

Da solltest du wohl noch die Voraussetzungen angeben !

Ich vermute mal, dass a für eine ganze (oder natürliche) Zahl stehen soll.

Andernfalls kann man doch für x einen rationalen Wert wählen und dann das dazu passende a (a∈ℝ) durch Auflösen einer Gleichung bestimmen !

Answer 1

Wenn a∈ℝ ist, kann x durchaus rational sein. Der Fall, dass sowohl x als auch a rational sind, kann nicht eintreten,

Begründung: Setze x=m/n und a(a+1)=b. Dann steht da \( \frac{m^3}{n^3} \)=\( \frac{b}{b+1} \). Dann müssten sich zwei dritte Potenzen natürlicher Zahlen um 1 unterscheiden, was nicht möglich ist

Comments

Sorry, habe ich leider vergessen.

a soll eine Rationale Zahl > 1 sein, am besten zunächst eine Natürliche Zahl.

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Habe meine Antwort daraufhin ergänzt.