Aufgabe:
Gegeben ist für a>0 eine Schar von Funktionen f, mit der Gleichung f.(x) = ax* e^(x/a)
Berechne die ersten beide Ableitungen
Bestimme rechnerisch in Abhängigkeit vom Parameter a die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsensowie der Extrempunkte der Graphen von fa
c) Berechne in Abhängigkeit vom Parameter a die Wendepunkte der Graphen von fa und ermittle die Gleichung der Ortskurve, auf der alle Wendepunkte der Graphen von fa liegen
d) Berechne in Abhängigkeit vom Parameter a die Gleichung der Tangente durch den Wendepunkt der Graphen von fa
e) Für jede positive Zahl u bilden die Punkte P (Ol0), Q(u0) und R(u| fa(w)) ein Dreieck. Bestimme in Abhängigkeit des Parameters a denjenigen Wert von u, für den dieses Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt hat. Gib
diesen größtmöglichen Flächeninhalt in Abhängigkeit von a an.
Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht, ob meine Überlegungen stimmen
Als Ableitung habe ich
f'(x)= e^(x/a)* (a+x) und f''(x)= e^(x/a)*(x/a +2)
Schnittpunkt mit der X-Achse gibt es nicht
Schnittpunkt mit der Y-Achse Sy(0|0)
Als Extrempunkt habe ich f'(x)=0 und damit liegt ein TP bei (-a|-a^2/e)
c) Als Wendepunkt habe ich WP( -2a|-2a^2-1/e^2) und die Ortskurve ist y=x^2/2e^2
d) t(x)=a/e^2*x +4a^2/e^2
f) Hauptbedingung A=0,5*g*h
Nebenbedingung g=u h=f(u)
Zielfunktion 0,5a*u^2* e^u/a
1. Ableitung e^u/a* (au+0,5u^2)
2. Ableitung e^u/a* (u^2/2a+a+2u)
HP( -2a|-2a^2/e^2)
Wenn u=-2a, dann wird der Flächeninhalt maximal mit -2a^2/e^2. Die Betrachtung der Ränder ist nicht notwendig weil der einzige Randwert bei 0 ist und dort ein TP liegt.
Sind diese Überlegungen richtig?
Vielen Dank!
