Wie gross ist die Summe?

Question

Aufgabe:

Mit den Ziffern 1, 3, 5 und 6 werden vierstellige Zahlen gebildet. Beispiele: 3156, 1563 oder 5613. Danach werden alle diese Zahlen aufaddiert. Wie groß ist die Summe

Problem/Ansatz:

Wie gross ist die Summe?

Comments

Das sind 24 Zahlen*, die wirst du wohl noch addieren können.

Oder sollst du eine Formel aufstellen?

______

* sofern mehrfach-Ziffern, also 3333, nicht erlaubt sind.

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die wirst du wohl noch addieren können.

z.B. auf folgende Art :
Der Mittelwert der Zahlen ist (1+3+5+6)/4 = 3,75
Das wird mit 1111 multipliziert, weil es vierstellige Zahlen sind : 1111*3,75 = 4166,25
Das wird mit 4! = 24 multipliziert, weil es so viele Summanden gibt : 24*4166,25 = 99990

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Was ist der mathemat. Hintergrund Ihrer Überlegungen?

Wieso kann mit hier mit dem Mittelwert arbeiten?

Wo kommen 1111 her?

Wenn möglich, ausführlicher als diese Kurzversion.

Welche anderen Arten gibt es noch außer das stupide Addieren von 24 Zahlen?

Ich denke, nicht jeder Leser kann Ihren Ansatz ohne Weiteres verstehen.

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T. hat das (wie üblich) so ausführlich erklärt, dass jeder Leser meinen Ansatz ohne Weiteres verstehen kann.

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Jetzt kann man es, weil T. ein vorbildlicher, netter Helfer ist und keinerlei Heraklitischen Züge aufweist.

Answer 1

Jede der 4 Ziffern steht in 6 Summanden an der Tausender-Stelle. Das ergibt (6+18+30+36)·1000=90·1000

Die gleiche Überlegung führt für die Hunderter-Stelle zu 90·100. für die Zehner-Stelle zu 90·10 und für die Einer-Stelle zu 90.

Den Rest kannst du selbst.

Answer 2

Aloha :)

Wenn du 2 Elemente A und B so kombinieren möchtest, gibt es genau 2 Möglichkeiten:

\(\red{AB}, \green{BA}\)

Jedes Element taucht 1-mal an jeder Position auf.

Nun kommt ein weiteres Element C hinzu. Das kannst du hinten, in der Mitte oder vorne einfügen:

\(\red A\red BC, \red AC\red B, C\red A\red B, \green B\green AC, \green BC\green A, C\green B\green A\)

Jedes Element taucht nun 2-mal an jeder Position auf.

Nun kommt ein weiteres Element D an jeder Position hinzu:

\(\red A\red BC\blue D , \red AC\red B\blue D, C\red A\red B\blue D, \green B\green AC\blue D, \green BC\green A\blue D, C\green B\green A\blue D\)

\(\red A\red B\blue D C, \red AC\blue D \red B, C\red A\blue D \red B, \green B\green A\blue D C, \green BC\blue D \green A, C\green B\blue D \green A\)

\(\red A\blue D \red BC, \red A\blue D C\red B, C\blue D \red A\red B, \green B\blue D \green AC, \green B\blue D C\green A, C\blue D \green B\green A\)

\(\blue D \red A\red BC, \blue D \red AC\red B, \blue D C\red A\red B, \blue D \green B\green AC, \blue D \green BC\green A, \blue D C\green B\green A\)

Jedes Element taucht nun 6-mal an jeder Position auf.

Die Summe der \(4\) Ziffern \(1,3,5,6\) beträgt \(15\).

Die Summe aller Kombinationen ist daher:$$S=6\cdot15\cdot(1000+100+10+1)=90\cdot1111=99\,990$$

Answer 3

Formal würde ich das so machen:

6*1000+

6*3000+

6*5000+

6*6000+

6*100+

6*300+

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