wie leitet man x/(sqrt{x^2+1}) ab? (quotientenregel)

Question

Aufgabe: wie wurde f'' gebildet?

Text erkannt:

- \( f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \)
- \( f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{{\sqrt{x^{2}+1}}^{3}} \)

Mein Ansatz bis zum Schluss:

$$f(x) = \frac{u}{v} \rarr f'=\frac{u'v-v'u}{v^2} \\ u = x \rarr u'=1 \\v= (x^2+1)^{1/2}\rarr v'= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\ f'=\frac{1\cdot \sqrt{x^2+1}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2}= \\ \frac{ \sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{{x^2+1}}$$

Answer 1

Hallo,

du hast hier ein x = u vergessen:

\( f^{\prime}=\frac{1 \cdot \sqrt{x^{2}+1}-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}} \)

Richtig ist

\(\displaystyle f''=\frac{1 \cdot \sqrt{x^{2}+1}-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\red{\cdot x}}{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}}\\ =\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\ =\frac{\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\ =\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\ =\frac{1}{(x^2+1)\cdot \sqrt{x^2+1}}\\ =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}^3}\)

Melde dich, falls du noch Fragen dazu hast.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen lieben dank

Answer 2

\( \begin{array}{l}\frac{d f(x)}{d x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \\ \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}}=\frac{1 \cdot \sqrt{x^{2}+1}-x \cdot \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{x^{2}+1}}}{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}} \\ \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1} \\ \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}}=\frac{\sqrt{x^{2}+1} \cdot \sqrt{x^{2}+1}-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right) \cdot \sqrt{x^{2}+1}} \\ \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}}=\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right) \cdot \sqrt{x^{2}+1}} \\ \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}}=\frac{1}{\left(x^{2}+1\right) \cdot \sqrt{x^{2}+1}}\end{array} \)

Answer 3

Vorletzte Zeile: u*v' = x^2/ √(x^2+1)

Bilde den Hauptnenner!