Wie wurde hier das Integral gebildet?

Question

Wie wurde hier diese Integration nach dem zweiten Gleichheitszeichen gemacht?

3/2 im Exponenten verstehe ich ja. Dann muss ja auch durch 3/2 geteilt bzw. mal den Kehrwert genommen. Es wird aber stattdessen mit -1/3 multipliziert, und das x danach verschwindet auch auf mysteriöse Weise.

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Dafür gibt es diese Seite:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Substituiere \(z = 1-x^2\).

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Da komme ich leider nicht mit weit.

Wenn ich damit dann versuche partiell zu integrieren, dann komme ich auf ein längeres Ergebnis, was die Aufgabe unnötig in die Länge zieht und auch noch höchstwahrscheinlich falsch ist.

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Du sollst substituieren, nicht partiell integrieren.

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Na schön, ich komme auf 2/3x * (1-x^2)^3/2

.

Ist dennoch nicht die richtige Lösung!

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\(\begin{aligned} &  & z & =1-x^{2}\\ & \implies & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} & =-2x\\ & \implies & \mathrm{d}x & =-\frac{\mathrm{d}z}{2x}=-\frac{1}{2x}\mathrm{d}z\\ & \implies & &\phantom{=}\int x\sqrt{1-x^{2}}\mathrm{d}x\\&&& =\int x\sqrt{z}\cdot\left(-\frac{1}{2x}\right)\mathrm{d}z\\ &  &  & =\int-\frac{1}{2}\sqrt{z}\mathrm{d}z \end{aligned}\)

Jetzt Stammfunktion bilden und dann rücksubstituieren.

Answer 2

und das x danach verschwindet auch auf mysteriöse Weise.

Dann nimm mal die als Ergebnis angegebene Stammfunktion

\( F(x)=-\frac{1}{3}\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2} \)

und leite sie ab. Das "mysteriös verschwundene" x taucht gar nicht so mysteriös wieder auf, und die Notwendigkeit des Faktors 1/3 erklärt sich dabei auch gleich mit.

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Ok, und wie soll ich das in der Klausur machen, ohne offensichtlich eine Musterlösung zu haben?

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Mit der Substitution.

Wenn du die richtig machst, musst du NICHT partiell integrieren.

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Na schön, ich komme auf 2/3x * (1-x^2)^3/2

.

Ist dennoch nicht die richtige Lösung!

Answer 3

Aloha :)

Die innere Ableitung von \(\sqrt{1-x^2}\) ist \((-2x)\). Vor der Wurzel steht schon der Faktor \(x\). Wir können daher den Term so umschreiben, dass die innere Ableitung als Faktor im Integranden auftaucht:$$I=\int x\cdot\sqrt{1-x^2}\,dx=-\frac12\int(-2x)\cdot\sqrt{1-x^2}\,dx$$Solche Integrale (wo ein Faktor die innere Ableitung einer anderen Funktion ist), kannst du immer mit der Substitutionsregel lösen:$$u\coloneqq1-x^2\implies\frac{du}{dx}=-2x\implies dx=\frac{du}{-2x}$$Wenn du nämlich jetzt \(dx\) durch \(\frac{du}{-2x}\) ersetzt, fällt die innere Ableitung heraus:$$\small I=-\frac12\int(-2x)\sqrt{u}\,\frac{du}{(-2x)}=-\frac12\int\sqrt u\,du=-\frac12\int u^{\frac12}\,du=-\frac12\cdot\frac{u^{\frac32}}{\frac32}+C=-\frac13u^{\frac32}+C$$Nun kannst du noch zurück subsitutieren und erhältst:$$I=-\frac13(1-x^2)^{\frac32}+C$$