Berechnen sie die drei Eigenwerte aus Spur und Det

Question

Aufgabe:

Die Spur einer 3x3 Matrix ist 1 und die Determinate hat den Wert 8.

Berechnen sie die drei Eigenwerte.

Ansatz

Spur(A)=1= x₁+x₂+x₃

Der(A)=8=x₁x₂x₃

Somit habe ich 3 Gleichungen aber nur zwei unbekannte. Hat jemand irgendwelche Tipps?

Comments

Sollen die 3 Eigenwerte möglicherweise ganzzahlig sein

oder soll die Matrix ganzzahlig sein?

Answer 1

Unter der Annahme, dass die Eigenwerte ganzzahlig sind, weiß man, dass zwei der Eigenwerte negativ sein müssen, da man sonst keine positive Determinante und keine Spur von 1 erhalten kann.

Schaut man sich die Teiler von 8 an, so ist außerdem klar, dass für die Beträge der Eigenwerte nur 1, 2, 4 und 8 in Frage kommen. Anhand der Spur kann man nun schnell sehen, dass die Eigenwerte -1, -2 und 4 sein müssen und dies auch die einzige ganzzahlige Lösung ist.