Extremwertaufgabe maximaler Flächeninhalt

Question

Aufgabenstellung:

Die Geometrie eines Kirchenfensters (Halbkreis und Rechteck, s. Abbildung) soll konstruiert werden.
Der Umfang ist mit U = Uo festgelegt. Die Maße des Fensters sind so zu wählen, das die Flache maximal wird, um möglichst viel Licht in die Kirche zu leiten.

Lösen Sie folgende Teilaufgaben:

a) Stellen Sie die Zielfunktion, die Nebenbedingung sowie die Lagrangesche Hilfsfunktion L auf!
b) Berechnen Sie die zur Optimierung notwendigen Gleichungen!
(Hinweis: Das Gleichungssystem muss nicht gelost werden.)

$\displaystyle \quad f(b, h)=b \cdot h+\frac{\pi b^{2}}{8}$

Unter Nebenbedingung $b\left(1+\frac{\pi}{2}\right)+2h=U_{0}$


Nebenbedingungen:

$\underbrace{b \cdot\left(1+\frac{\pi}{2}\right)+2 h-U_{0}}_{g(b, h)}=0$

${\text {Lagrange-Funktion }} \mathscr{L}(b, h, \lambda)=f(b, h)+\lambda g(b, h)$


$\begin{aligned} \mathscr{L}(b, h, h) & =b \cdot h+\frac{\pi b^{2}}{8}+\lambda\left[b\left(1+\frac{\pi}{2}\right)+2 h-U_{0}\right] \\ & =b h+\frac{\pi b^{2}}{8}+h b\left(1+\frac{\pi}{2}\right)+2 \lambda h-\lambda U_{0} \end{aligned}$


Ableitungen

$\begin{array}{l} \mathscr{L}_{b}=h+\frac{\pi b}{4}+\lambda\left(1+\frac{\pi}{2}\right) \\[8pt] \mathscr{L}_{h}=b+2 \lambda \\[8pt] \mathscr{L}_{\lambda}=b\left(1+\frac{\pi}{2}\right)+2 h-U_{0} \end{array}$


Notwendige Bedingungen

$\begin{array}{l} h+\frac{\pi b}{4}+h\left(1+\frac{\pi}{2}\right)=0 \\[8pt] b+2 \lambda=0 \\[8pt] b\left(1+\frac{\pi}{2}\right)+2 h-U_{0}=0 \end{array}$

Hi... Ich wollte fragen ob einer mal drüber schauen kann und mir sagen ob alles richtig ist? Die Aufgabe ist sehr wichtig für die Klausur demnächst.

Comments

Darf ich das ausnahmsweise lassen?

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Abgesehen davon, dass ich schwarzes Gekritzel auf dunkelgrauem Hintergrund für unzumutbar halte: Du solltst mal schauen, wie man

$\Huge \lambda$

schreibt.

Nachtrag: Danke, Silvia, für die Reinschrift.

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Das Zeichen kommt nicht von mir, ich weiß dass das falsch rum ist :-D

Aber mal was anderes, kann man hier irgendwie andere ,,vergüten" ? Irgendeine Überweisungsmöglichkeit von ein paar €.

Hab ein schlechtes Gewissen wenn mir einer eine krasse Lösung inklusive Rechenweg/Erklärungen gibt.

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Es gibt in der Lounge ein paar Leute, die haben den Button "Bedanken per Paypal" aktiviert. Tschakabumba gehört nicht dazu. Du kannst bei ihm "Daumen hoch" und "beste Antwort" anklicken. Dann kriegt er Punkte, mit denen er "Lounge-Stickers" erwerben kann. So sind er und ich z.B. zum Mathelounge-Spiegelei-Sticker gekommen, der mir sehr gefällt. In Abwandelung einer berühmten Rede: Two thousand years ago, the proudest boast was civis romanus sum ["I am a Roman citizen"]. Today, in the world of freedom, the proudest boast is "Ich habe den Spiegelei-Sticker!"   Mindestens solange, bis die Mathelounge endlich einen Bananen-Sticker erfindet. Aber das ist eine andere Geschichte.

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So funktioniert das also.. in Ordnung.

Ich wünschte ich hätte diese Seite vorher schon gekannt.. genial.

Answer 1

Aloha :)

Die zu optimierende Funktion und die Nebenbedinung sind korrekt:$$f(b;h)=bh+\frac{\pi b^2}{8}\quad;\quad g(b;h)=b+\frac{\pi b}{2}+2h=U_0=\text{const}$$

zu a) Die Lagrange-Funktion stimmt auch, ich kenne sie nur mit $(-\lambda)$ anstatt $(+\lambda)$. Aber das spielt in der Mathematik, wo $\lambda$ eher ein lästiger Parameter ist, keine Rolle. In der Physik gibt $\lambda$ Auskunft über die Stärke von Zwangskräften, die einen Körper auf seine Bewegungsbahn zwingen. Da ist das Vorzeichen wichtig.

zu b) Die notwendige Bedingung kann ich jetzt nicht direkt erkennen. Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenebedingungen sein:$$\operatorname{grad}f(b;h)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(b;h)\implies\binom{h+\frac{\pi b}{4}}{b}=\lambda\cdot\binom{1+\frac\pi2}{2}$$Da die beiden Vektoren kollinear sein sollen, spannen sie keine Fläche auf, d.h. ihre Determinante verschwindet:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rr}h+\frac{\pi b}{4} & 1+\frac\pi2\\[1ex]b & 2\end{array}\right|=\left(2h+\frac{\pi b}{2}\right)-\left(b+\frac{\pi b}{2}\right)=2h-b\quad\implies\quad\pink{b=2h}$$

Die pinke Gleichung ist die notwendige Bedingung.

Die kannst du nun in die Nebenbedinung einsetzen und alles weitere ausrechnen...

Comments

mein Nachhilfelehrer wird aufjedenfall gekündigt. Ich habe die Lösung mit ihm gemeinsam gemacht.. danke dir..!