f(x) = x3 - 6x2 + 9x
f'(x) = 3x2 - 12x + 9
f''(x) = 6x - 12
f'''(x) = 6
Wendepunkt:
f''(x) = 0 ∧ f'''(x) ≠ 0
6x - 12 = 0 | x = 2
f'''(2) = 6 ≠ 0
Also Wendepunkt W(2|f(2)) = W(2|2)
Bis dahin kommen wir also auf das gleiche Ergebnis :-)
Der Skizze entnehmen wir, dass es ein Rechts-links-Wendepunkt ist.
Im Wendepunkt ist bekanntermaßen der Betrag des Anstiegs maximal.
Ich weiß auch nicht genau, wie man jetzt feststellen kann, um welche Art eines Wendepunktes es sich handelt.
Eine Idee:
Man setzt einen etwas kleineren x-Wert und einen etwas größeren x-Wert als den gefundenen (hier x = 2) in die 1. Ableitung ein, zum Beispiel:
f'(1,9) = 3 * 1,92 - 12 * 1,9 + 9 = -2,97
f'(2,2) = 3 * 2,22 - 12 * 2,2 + 9 = -2,88
Wir haben also an beiden Stellen einen negativen Anstieg, der aber nach rechts hin "weniger negativ" ist; das dürfte ein Hinweis darauf sein, dass es sich um einen Rechts-links-Wendepunkt handelt.
Ist wie gesagt nur eine Idee, aber es lohnt sich m. E., diese in Betracht zu ziehen :-)
Besten Gruß
