Polynomzerlegung in irreduzible Faktoren

Question

Aufgabe: Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren

Ich versuche ein Polynom f=x⁴ +2x³ -x² +1 ∈ ℤ  in F₃  in irreduzible Faktoren zu zerlegen.

Also da F₃ die Elemente 0,1,2 besitzt kann ich f in F₃ so stehen lassen.

Nun suche ich erstmal nach Nullstellen. Ich finde 1 als Nullstelle, da f(1)=3=0

Problem/Ansatz:

Nach der Reduktionsmethode habe ich ein Polynom von Grad 4 und eine Nullstelle. Laut meinem Skript führe ich jetzt eine Polynomdivision durch aber wieso und mit was dividiere ich denn mein Polynom.

Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe

Answer 1

Ich finde 1 als Nullstelle

Dann dividiere durch x-1.

eine Polynomdivision durch aber wieso

Durch die Polynomdivision bekommst du ein Polynom \(g\), so dass

        \(g\cdot (x-1) = x^4 +2x^3 -x^2 +1\)

ist. Dabei ist der Grad von \(g\) kleiner als der Grad von \(f\). Es genügt also nun, ein Polynom kleineren Grades in irreduzible Faktoren zu zerlegen.

Comments

Ah okay vielen Dank für Ihre schnelle Antwort.

Ich betrachte dann also g und schaue ob es Nullstellen gibt.

Leider kommt bei der Polynomdivision ein Rest von 4 raus

x⁴+2x³-x²+1 : (x-1) = x³+3x²+3x+3 + (4)/(x-1)

Wie gehe ich damit um. Schaue ich dann nur den vorderen Teil an?

Außerdem werden alle 3 zu 0 in F₃ . Dann würde nur noch x³ übrig bleiben.

Wäre dann 0 eine Nullstelle und somit g irreduzibel?

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Leider kommt bei der Polynomdivision ein Rest von 4 raus

Dann ist 1 keine Nullstelle oder du hast die Polynomdivision nicht korrekt druchgeführt.

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Okey dann schau ich mir diess nochmal genauer an.

Aber ich glaube das Prinzip müsste ich jetzt verstanden haben.

Vielen Dank

Answer 2

Die Polynomdivision ergibt bei mir die Zerlegung

\(f=(x^3-x-1)(x-1)\). Nun nutze, dass ein Polynom

vom Grad \(\leq 3\) genau dann irreduzibel ist, wenn

es keine Nullstelle im Koeffizientenkörper besitzt

Answer 3

Hallo,

mit Horner-Schema

	1	2	-1	0	1
	/	1	3	2	2
x=1	1	3 → 0	2	2	3 → 0

--> (x³+2x+2)•(x-1)