Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Verbinde den Ankerpunkt \(A(5|7|9)\) der Geraden mit dem Punkt \(R(-7|-3|14)\):$$\vec h\coloneqq\overrightarrow{AP}=\vec r-\vec a=\begin{pmatrix}-12\\-10\\5\end{pmatrix}$$
Projeziere diesen Hilfsvektor auf den Richtungsvektor \(\vec u=(12;4;3)^T\) der Geraden:$$\vec h_\parallel=\left(\frac{\vec h\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\right)\cdot\vec u=\left(\frac{\begin{pmatrix}-12\\-10\\5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}12\\4\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}12\\4\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}12\\4\\3\end{pmatrix}}\right)\begin{pmatrix}12\\4\\3\end{pmatrix}=\frac{-169}{169}\begin{pmatrix}12\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\-4\\-3\end{pmatrix}$$
Addiere den projezierten Hilfsvektor zum Ankerpunkt, um den Lotfußpunkt zu erhalten:$$\vec\ell=\vec a+\vec h_\parallel=\begin{pmatrix}5\\7\\9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-12\\-4\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\3\\6\end{pmatrix}$$
Der Lotfußpunkt ist also \(L(-7|3|6)\).
