Abstand zweier Geraden im Raum

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Bestimmen Sie ihren Abstand.

g: \( \vec{x} \) = {2|5|5} + t * {1|1|3}

h: \( \vec{x} \) = t * {-1|-1|-3}

Problem/Ansatz:

Ich weiß, das Ergebnis Wurzel 10 ergibt aber nicht wie man drauf kommt. Kann mir jemand helfen?

Comments

mit Beispiel:

https://de.serlo.org/mathe/2145/abstand-zweier-geradenit

https://www.google.de/search?q=abstand+zweier+geraden+im+raum&source=hp&ei=zs0_ZMA-0ITyAvWriMgH&iflsig=AOEireoAAAAAZD_b3gYCHf8zFi5rnsYLuUQS_17OFCn5&oq=Abstand+zweier+Geraden+im+Raum&gs_lcp=Cgdnd3Mtd2l6EAEYADIFCAAQgARQAFgAYOIHaABwAHgAgAGFAYgBhQGSAQMwLjGYAQCgAQKgAQE&sclient=gws-wiz#fpstate=ive&vld=cid:43b4e534,vid:ZrDAsfpkTsk

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Die Geraden sind parallel, was man an den beiden Richtungsvektoren sieht.

Ich habe das t bei h durch u ersetzt, weil es nicht dasselbe ist wie bei g.

Answer 1

Aloha :)

Die beiden Geraden verlaufen anti-parallel zueinander, denn der Richtungsvektor von \(h\) ist der negative Richtungsvektor von \(g\).

Da Gerade \(h\) geht durch den Urpsrung, die Gerade \(g\) hat den Ankerpunkt \((2|5|5)\). Damit ist \(\vec v=(2;5;5)^T\) ein Verbindungsvektor zwischen den beiden Geraden.

Von diesem Verbindungsvektor brauchen wir den Anteil \(\vec v_\perp\), der senkrecht auf den Richtungsvektoren steht:$$\vec v_\perp=\vec v-\vec v_\parallel$$Dazu bestimmen wir den Anteil \(\vec v_\parallel\) durch Projektion von \(\vec v\) auf einen der beiden Richtungsvektoren der Geraden:$$\vec v_\parallel=\left(\frac{\begin{pmatrix}2\\5\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\frac{22}{11}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}\quad\implies$$$$\vec v_\perp=\begin{pmatrix}2\\5\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}$$

Die Länge des senkrechten Anteils des Verbindungsvektors ist \(\|\vec v_\perp\|=\sqrt{10}\).

Answer 2

Hallo,

\( \begin{array}{l}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \\[20pt] h: \vec{x}=s\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right)\end{array} \)

Die beiden Geraden sind parallel zueinander. Man kann daher den Abstand zwischen g und h auch als Abstand von P = Ortsvektor von g und h bestimmen.

Ein beliebiger Punkt L auf h hat die Koordinaten (-s|-s|-3s).

Damit der Vektor PL senkrecht auf h steht, muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors von g und PL null sein.

\(\overrightarrow{PL}\circ \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix}=0\)

\(\overrightarrow{PL}=\begin{pmatrix} -s-2\\-s-5\\-3s-5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -s-2\\-s-5\\-3s-5 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix}=0\\ -s-2-s-5-9s-15=0\\ -11s=22\\ s=-2\)

Setze s in h ein, um L zu bestimmen.

\(L=\begin{pmatrix} 2\\2\\6 \end{pmatrix}\)

Berechne den Abstand zwischen P und L.

\(d=\sqrt{(2-2)^2+(2-5)^2+(6-5)^2}=\sqrt{10}\)

Gruß, Silvia