Im abgebildeten Trapez ist die Seite DC halb so lang wie der Vektor b. In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt …

Question

Hallo, ich habe Schwierigkeiten bei der folgenden Aufgabe:

Im abgebildeten Trapez ist die Seite DC halb so lang wie der Vektor b. In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt S die Diagonalen DB und AC?

Ich war folgendermaßen vorgegangen:

AD + DS + SA = 0

AD + α DB - β AC = 0

AD = a

DB = DA + AB = - a + b

AC = AD + DC = a + 0,5 b

a + α (- a + b) + β (a + 0,5 b) = 0

Ab hier komme ich nicht mehr weiter. In meinem Buch steht zu einer ähnlichen Aufgabe: "Wir nutzen aus, dass a und b aufgrund ihrer unterschiedlichen Richtungen linear unabhängig (nicht kollinear) sind. Die Koeffizienten ... sind also jeweils 0." Das hatte ich auch nicht verstanden.

Ich freue mich über eure Hilfe.

Answer 1

Hallo,

du musst die Klammern auflösen, nach a und b sortieren und ausklammern.

a + α (- a + b) + β (a + 0,5 b) = o          ( o : Nullvektor)

a-α•a+α•b+β•a+β•0,5b = o

1•a-α•a+β•a +α•b+β•0,5b = o

a(1-α+β) + b(α+0,5β) = o

Da a und b linear unabhängig sind, müssen beide Klammerterme gleich Null sein, und du kannst α und β berechnen.

:-)

PS

Betrachte d= r•a+s•b mit r≠0 und s≠0.

Der Vektor d entspricht einer Diagonale im von ra und sb aufgespannten Parallelogramm. Wenn die Diagonale die Länge Null haben soll, müssen r und s beide Null sein.

Comments

Kann sein, dass ich grad total auf dem Schlauch stehe aber wie komme ich von

a + α (- a + b) + β (a + 0,5 b) = o

zu

a(1-α+β) + b(α+0,5β) = o

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Ich könnt schwören, genau das hätte ich gemacht ( ͡⚆ ͜ʖ ͡⚆)

Wie dem auch sei, vielen vielen Dank für deine Hilfe!

Answer 2

Wähle S als Steckzentrum für das Dreieck CDS mit dem Streckfaktor -2. Dann erhältst du das Dreieck ABS.

Answer 3

Geradengleichungen mit den Mitteln deiner Wahl.

Koordinaten von S:

\(y= \frac{3}{4}x \)     geschnitten mit   \(y=- \frac{3}{5}x+\frac{18}{5} \)

\(\frac{3}{4}x=- \frac{3}{5}x+\frac{18}{5} \) 

\(\frac{3}{4}x+ \frac{3}{5}x=\frac{18}{5} \)

\(\frac{27}{20}x=\frac{18}{5} |:9 \)

\(\frac{3}{20}x=\frac{2}{5}   |\cdot \frac{20}{3} \)

\(x=\frac{2}{5} \cdot \frac{20}{3}=\frac{8}{3} \)     \(y=\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3}=2\)

S\((\frac{8}{3}|2)\)

Strecke AS  \( \sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3} \)

Strecke SC \( \sqrt{(4-\frac{8}{3})^2+(3-2)^2}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}  \)

\( \frac{ AS}{SC}=\frac{\frac{10}{3} }{\frac{5}{3}}=\frac{2 }{1} \)

Analog  \( \frac{ BS}{SD} \) berechnen.

Comments

Zum Glück kannst du mit dieser Antwort keinen Schaden mehr anrichten.

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@Moliets:

Deine Geradengleichungen gelten nur für ein spezielles Trapez, aber nicht allgemein für die in der Aufgabe beschriebenen Trapeze.

Wenn man einen alternativen Lösungsweg sucht, wäre es sinnvoller, die beiden ähnlichen Dreiecke ABS und CDS zu betrachten. Da DC=½AB gilt, muss DS=½SB und CS=½SA gelten.

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Allgemeine Berechnung:

Gerade durch A und C:

\(y=\frac{h}{u+c}\cdot x \)

Gerade durch B und D:

\(y=\frac{h(x-2c)}{u-2c} \)

Koordinaten von S:

\(\frac{h}{u+c}\cdot x =\frac{h(x-2c)}{u-2c}=\frac{hx}{u-2c}+\frac{2hc}{2c-u}\)

Wird fortgesetzt!

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Wird fortgesetzt!

Soll das eine Drohung sein?

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@Moliets

Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht.

☺