Bestimmen Sie alle c, für die die Gleichung keine Lösung besitzt.

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=3x+1.

F_c stellt die Menge aller Stammfunktionen von f dar.

Bestimmen Sie alle c, für die die Gleichung F_c(x)=f(x) keine Lösung besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich würde zuerst integrieren, dann habe ich $$F(x)= \frac{3}{2}x^2+x+c$$

Aber wie geht es jetzt weiter?

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg, Die Stammfunktionen zu \(f(x)=3x+1\) lauten:$$F_c(x)=\frac32x^2+x+c$$

Nun sollst du prüfen, für welche \(c\) die Gleichung \(F_c(x)=f(x)\) keine Lösung hat:

$$F_c(x)=f(x)\quad\big|\text{Funktionsterme einsetzen}$$$$\frac32x^2+x+c=3x+1\bigg|-3x$$$$\frac32x^2-2x+c=1\quad\bigg|-c$$$$\frac32x^2-2x=1-c\quad\bigg|\cdot\frac23$$$$x^2-\frac43x=\frac23-\frac23c\quad\bigg|\text{quadratische Ergänzung \(\frac49\) addieren}$$$$x^2-\frac43x+\frac49=\frac{10}{9}-\frac23c\quad\bigg|\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left(x-\frac23\right)^2=\frac{10-6c}{9}$$

Jetzt erkennst du, dass links eine Quadratzahl steht, die immer \(\ge0\) ist.

Daher hat die Gleichung keine relle Lösung, wenn die rechte Seite negativ ist:$$\frac{10-6c}{9}<0\implies10-6c<0\implies10<6c\implies c>\frac{10}{6}=\frac53$$

Für \(c>\frac53\) hat die Gleichung also keine reelle Lösung.

Answer 2

- gleichsetzen mit f(x)

- pq-Formel aufstellen.

==> Wenn die Wurzel negativ wird, gibt es keine Lösung.

Answer 3

Die Diskriminante von

\(3/2x^2+x+c-3x-1=3/2x^2-2x+(c-1)\) ist

\((-2)^2-4\cdot 3/2(c-1)=10-6c<0\iff c>5/3\).

Also existieren für \(c>5/3\) keine relllen Lösungen.