Dreieckskonstruktion? Ist das so überhaupt lösbar?

Question

Aufgabe:

Ein Baum ist 12m hoch. Er knickt so ab, dass seine Spitze 5m von seinem Fuß entfernt den Boden berührt.

Es soll mit einer maßstabsgetreuen Konstruktion ermittelt werden, wie hoch der Stamm nach dem Abknicken noch steht.

Problem/Ansatz:

Es ist ja anzunehmen, dass der Baum senkrecht zum Boden steht. Mehr ist allerdings nicht angegeben zu Winkeln. Ist das so lösbar? Und wenn ja, wie?

Ich danke euch vorab!

Answer 1

Ich habe eine Möglichkeit zur Konstruktion der Knickstelle:

Comments

Ja, so muss man das machen.

Pluspunkt!

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Hallo

Da die Rechnung ja eine lineare Gleichung ergibt, ist klar, dass man keine Kreise braucht bzw. brauchen kann.

lul

Answer 2

$$b^2 + 5^2 = a^2$$

$$a = 12 - b$$

$$b^2 + 5^2 = (12-b)^2$$

...

b = 4,958...

a = 7,0416...

Konstruieren kannst du es, indem du waagerecht die 5 m abträgst und dann einen Kreis mit Radius 12 nach oben schlägst.

Comments

Vielen Dank schonmal!

Könntest du das Vorgehen bei der Konstruktion noch etwas genauer oder besser gesagt anders beschreiben. Aus waagerecht 5m abtragen werde ich nicht schlau. Auch weiß ich nicht, welcher der der Mittelpunkt des Kreises mit r=12 ist.

Das wäre sehr nett!

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@ we : Meinst du Folgendes ?
Mit den üblichen Bezeichnungen  ΔABC mit α=90° , b=12 , c=5 ; Senkrechte zu a durch B schneidet die Verlängerung von b in D ; Mittelpunkt von D und C ist die Knickstelle.

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@willyengland; Ein Kreis mit Durchmesser 12 hat den Radius 6. Wo ist sein Mittelpunkt?

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Ich dachte so:

Answer 3

Hallo,

mit GeoGebra habe ich es mithilfe einer Ellipse gelöst, bei der die Summe der Abstände von A und B gleich 12 ist.

Hier noch die Konstruktion, die Gast hj2166 im Kommentar beschreibt.

Das Dreieck HBF ist gleichschenklig. Du suchst also den Punkt auf der y-Achse, der gleich weit von B und F entfernt ist, und der liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke BF. Die Mittelsenkrechte habe ich aber nicht eingezeichnet.

:-)

Comments

Wie geht man bei der Konstruktion dann vor?

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Du brauchst einen Punkt, der in der Summe 12 Längeneinheiten  von A und B entfernt ist. Ich habe den Punkt D(8,5|0) gewählt. Allerdings weiß ich nicht, ob das bei deiner Aufgabe erlaubt ist.

Dann mit dem Ellipsen-Tool die Ellipse zeichnen lassen.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist die Knickstelle.

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Hast du auch eine Idee mit Zirkel und Geodreieck und ohne Elipse?

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Du könntest es mit einer Näherung versuchen.

Kreisbögen mit Radien von z.B. 4cm um A und 12cm-4cm um B, dann mit 5cm und 7cm sowie 6cm um beide. Dann siehst du, dass 5cm und 7cm schon eine passable Näherung ist.

Eine genaue Lösung mit Kreisen fällt mir leider nicht ein.

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

:-)

Answer 4

Hallo,

durch das Abknicken des Baumes, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, so dass man für alle notwendigen Maße eine Berechnung vornehmen kann.

Abbruchlänge: x     , eine Kathete 12m-x , zweite Kathete 5 m

x² = (12-x)² +5²

x² = 144 -24x +x² +25   | -x²  ;  24x

24x = 169                     | : 24

    x = \( \frac{168}{24} \)     gerundet 7,04  und die andere Kathete ist 12 -7,04 =4,94

1cm = 1m , dann wäre der Maßstab 1: 100

Horizontale 5cm, weiter dann mit dem Zirkel

Comments

Die Berechnung ist nicht der Punkt, ist aber laut Aufgabe nicht vorgesehen - es soll eine rein konstruktive Lösung erfolgen...

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In der Rechnung müsste es x=\( \frac{169}{24} \) heißen.