Zeige mit dem Epsilonkriterium für Folgenkonvergenz

Question

Aufgabe:

Zeige mit dem Epsilonkriterium für Folgenkonvergenz folgende Aussage

$$a_n= \frac{2n}{5n+1}$$ konvergiert gegen $$\frac{2}{5}$$

Answer 1

Hallo

gib ein N(ε) an , so dass \( |{\frac{2n}{5n+1} -\frac{2}{5}}|< \epsilon\) für alle n>N

dabei muss N nicht genau sein sondern nur ein N das auch zu groß sein kann.

man kann so ein N einfach ausrechnen

Gruß lul

Comments

Okay, also gesucht ist dieses N. Wie genau berechne ich das denn?

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Hallo

indem du die aufgeschriebene Ungleichung für n=N löst so dass du am Ende N> ... stehen hast.

du kannst den Absolutbetrag weglassen, wenn du immer das kleinere vom größeren abziehst.

lul

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Ich verstehe das nicht

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du formst die Ungleichung

$$2N/(5N+1)-5/2 < \epsilon $$

nach $$N$$ um

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Ah okay, danke dann weiß ich was zu tun ist.

Und dieses N ist dann meine Grenze?

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Hallo

2/5-2n/(5n+1)<ε linke Seit auf Hauptnenner  bringen, dann nach n>... auflösen

dann etwa 25n+5 durch 26n ersetzen für n>5 und du has n>.. und n>5

lul

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Hallo

nein diese N sagt, dass es zu jedem ε ein N gibt so dass..... sieh e die Def für Konvergenz nach, Damit hättest du anfangen sollen!

lul

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$$\frac{2N}{5N+1}- \frac{2}{5} < \epsilon$$

$$\frac{2N5-2(5N+1)}{5(5N+1)} < \epsilon$$

$$\frac{10N-10N-2}{25N+5} < \epsilon$$

$$\frac{-2}{26N} < \epsilon$$

$$\frac{1}{N} > -13 \epsilon$$

Das stimmt doch nicht was ich da mache

Was mache ich falsch?

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Hallo

deine Fehler:

a)nicht den Betrag genommen oder das kleinere abgezogen

b) nicht nach N aufgelöst

Gruß lul

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Also wird aus dem Minus ein Plus wenn ich den Betrag weglasse?

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Soll das wirklich ne Frage sein so wie ist |-2|=2?

ich hatte aufgeschrieben wie du rechnen solltest, warum ignorierst du so was?

lul

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Nein, dass der Betrag von |-2|=2 ist weiß ich.

Ich ignoriere die Hinweise nicht, ich kann sie nicht umsetzen.

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ich schrieb "2/5-2n/(5n+1)<ε daraus N > bestimmen, was kann daran schwer sein umzusetzen?

lul

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ou, ich habe die Reihenfolge nicht beachtet.

Wenn ich das jetzt so mache bekomme ich aber immer noch 1/13N < epsilon raus.

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Und das kannst du  wirklich nicht auflösen zu N>...?

lul

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N> 13/epsilon würde da bei mir raus kommen

Aber das stimmt doch nicht, es muss doch N>5 rauskommen wenn ich das richtig verstanden habe

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Hallo

1, es kommt N>1/(13ε) raus, und da wir N>5 vorher hatten also Max(1/(13ε),5)

oder in Worten mindestens 5, sonst 1/(13ε)

(meist will man ja kleine ε)

lul

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Okay. Dann bin ich ja nah an dem Ergebnis dran. Jetzt frage ich mich nur wie ich auf das 1/13 epsilon komme

ist 1/N < epsilon/13 denn noch richtig oder ist das auch schon falsch?

Ich habe meinen Fehler gefunden!! Danke lul für deine Ausdauer und deine Hilfe!