Für \( n \in \mathbb{N} \) und die n-te komplexe Einheitswurzel \( \omega n:=e^{i 2 \frac{n}{n}} \) definieren wir die Matrix
\( F_{n} \in \mathbb{C}^{n \times n} \operatorname{durch}\left(F_{n}\right)_{j, k}:=\omega_{n}^{j k} \text {. So ist z.B. } F_{3}=\left(e^{i 2 \frac{\pi}{n}} \ldots\right) \text {. } \)
Aufgabe:
Berechnen Sie für allgemeines \( n \in \mathbb{N} \) die Matrix \( F_{n}^{H} F_{n} \).
Hinweis: Sie dürfen die Zusammenhänge \( \sum \limits_{l=0}^{n} z^{l}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z} \) für \( z \in \mathbb{C} \backslash\{1\} \) und \( n \in \mathbb{N} \) sowie \( \omega^{k l}=\omega^{k^{l}} \) für \( \omega \in \mathbb{C} \) und \( k, l \in \mathbb{N} \) ohne Beweise verwenden.
Was bis jetzt erarbeitet wurde:
\( \begin{array}{l}F_{n}^{H} \cdot F_{n} \\ =\left(\overline{\omega_{n}^{j k}}\right) \cdot\left(\omega_{n}^{s t}\right) \\ =\left(e^{\frac{i 2 \pi}{n}}\right)^{j k} \cdot\left(e^{\frac{i 2 \pi}{n}}\right)^{s t} \\ =\left(e^{\frac{-i 2 \pi}{n}}\right)^{j k} \cdot\left(e^{\frac{i 2 \pi}{n}}\right)^{s t} \\ =\sum \limits_{\mu=1}^{n} e^{\frac{-i 2 p i j \mu}{n}} \cdot e^{\frac{i 2 p i \mu t}{n}} \\ =\sum \limits_{\mu=1}^{n} e^{\frac{-i 2 \pi j \mu+i 2 \pi \mu t}{n}} \\ =\sum \limits_{\mu=1}^{n} e^{\frac{i 2 \pi \mu \cdot(t-j)}{n}} \\ \text { mit } t=j \Rightarrow \sum \limits_{\mu=1}^{n} e^{\frac{i 2 \pi \mu \cdot(0)}{n}}=\sum \limits_{\mu=1}^{n} e^{0}=\sum \limits_{\mu=1}^{n} 1=n \\ t \neq j \Rightarrow \\\end{array} \)
Problem: Wie können wir jetzt mit t ≠ j folgern das an der stelle x,y eine 0 steht?
