Mit Hilfe der Treppenfunktion der Integral berechnen

Question

Aufgabe:

[Elementares Integral] Berechnen Sie mit Hilfe der Definition durch Treppenfunktionen das Integral \( \int \limits_{0}^{b} x^{3} d x \) für beliebiges \( b>0 \).
Verwenden Sie dazu die äquidistante Zerlegung \( a_{k}=\frac{k b}{n} \) des Intervalls \( [0, b] \) und die Treppenfunktionen
\( \varphi_{n}(x)=\left(\frac{k b}{n}\right)^{3} \text { für } x \in\left[a_{k}, a_{k+1}\right), k=0,1, \ldots, n-1 \)
Hinweis: Nutzen Sie die Summenformel \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2} \).

Problem/Ansatz:

Hallo Leute,

Ich kann leider diese Aufgabe nicht verstehen. Kann jemand mir sagen, wie man diese Aufgabe erledigen kann?

Da ich gerade leider keine Ahnung habe.

Answer 1

Das ist Integral über die Treppenfunktion ist ja die Summe

über alle Teilintervalle:

Teilintervalllänge * Funktionswert auf dem Teilintervall, also

\(  \sum \limits_{k=0}^{n-1} \frac{b}{n} \cdot \left(\frac{k b}{n}\right)^{3} \)

\( =   \frac{b^4}{n^4} \cdot \sum \limits_{k=0}^{n-1} k^{3} \)

Dann die Formel benutzen und den GW für n gegen unendlich.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe!