Lösungsmenge der Kurve

Question

Aufgabe:

In dieser Aufgabe betrachten wir Kurven in R^n
Diese lassen sich einerseits explizit als Bilder von Parametrisierungen, d.h. als Bilder von Abbildungen R I → R^2
I Intervall, darstellen. Andererseits können Kurven implizit durch Gleichungen beschrieben
werden.
 Φ(t)=(t^4-4t),(t^2-4))^t
Aufgabe:

Geben Sie eine Gleichung an, welche die Kurve beschreibt, die durch Φ gegeben ist. Beweisen Sie Ihre Aussage, d.h. zeigen Sie explizit, dass die Lösungsmenge der Gleichung gerade
dem Bild von Φ entspricht.

Problem/Ansatz:

Hallo,
Mein Ansatz für die Gleichung wäre jetzt gewesen:
x=t^4-4t
y=t^2-4 => t=\( \sqrt{y+4} \)

x=(\( \sqrt{(y+4) } \))^4-4\( \sqrt{y+4} \)    => Φ=(\( \sqrt{(y+4) } \))^4-4\( \sqrt{y+4} \) -x

Stimmt die Gleichung so? Wie Zeige ich jetzt das die Lösungsmenge dem Bild entspricht?

Comments

Φ(t⁴-4t),(t²-4))

Das ist kein syntaktisch korrekter mathematischer Ausdruck.

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Ist es jetzt besser so, habe es verändert?

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In Φ(t)=(t⁴-4t),(t²-4))^t fehlt zwar immer noch eine Klammer. Das t im Exponenten sollte vermutlich ein T sein. Aber zumindest habe ich jetzt die starke Vermutung, dass du

        \(\Phi(t) = \begin{pmatrix}t^4-4t\\t^2-4\end{pmatrix}\)

meinst.

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Ja genau das meine ich, tut mir leid.

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Ist für dein \(\Phi\) kein konkretes Intervall \(I\) angegeben?

Answer 1

t=\( \sqrt{y+4} \)

Eigentlich

        \(t = \pm \sqrt{y+4}\).

Deshalb:

x=(\( \sqrt{(y+4) }^4 \)-4\(\sqrt{y+4}\)

        \(x=\sqrt{(y+4) }^4 \pm 4\sqrt{y+4}\)

Termumformungen liefern

      \(x=(y+4)^2 \pm 4\sqrt{y+4}\)

Problem ist noch, dass das eine Disjunktion von zwei Gleichungen ist, nämlich

        \(\begin{aligned}x&=(y+4)^2 + 4\sqrt{y+4}\\\vee\ x&=(y+4)^2 - 4\sqrt{y+4}\end{aligned}\)

Das kann repariert werden indem die Gleichung quadriert wird:

        \(\begin{aligned} x & =(y+4)^{2}\pm4\sqrt{y+4} &  & |-(y+4)^{2}\\ x-(y+4)^{2} & =\pm4\sqrt{y+4} &  & |\square^{2}\\ \left(x-(y+4)^{2}\right)^{2} & =16\left(y+4\right) \end{aligned}\)

Φ=\(\sqrt{(y+4)}\)^4-4\(\sqrt{y+4}\) -x

Es gibt keine Regel, nach der du die 0 auf der linken Seite einfach durch Φ ersetzen darfst.

Comments

Und wie gehe ich das mit der Lösungsmenge an ?

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Was meinst du mit "das mit der Lösungsmenge"?

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Ich soll ja zeigen dass sie Lösungsmenge der Gleichung dem Bild entspricht, wie geht man das an?

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Ersetze \(y\) durch (\t^2 - 4\) und löse die Gleichung nach \(x\).

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Also :

(x-t ⁴) ² =16t ²

(Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe)

Würde es dann reichen dem Definitionsbereich von x anzugeben? Wäre das schon genug als Beweis?

Answer 2

t=\( \sqrt{y+4} \) gilt ja nur für nicht negatives t.

Also lege das Intervall fest als =[0;∞[.

Dann hast du

\( x=( \sqrt{(y+4) } )^4- 4 \sqrt{y+4} =(y+4)^2 -4 \sqrt{y+4} \)

Das wäre die Gleichung.

Comments

Und wie gehe ich das mit der Lösungsmenge an?

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Wenn die Gleichung

\( x=(y+4)^2 -4 \sqrt{y+4} \) Lösungen hat

(und das hat sie z.B. y=-4 und x=0),

dann ist jedenfalls y+4≥0 wegen der Wurzel.

Also existiert \( \sqrt{y+4} \) und das setze ich

gleich t, und es ist dann auch im Intervall [0,∞[.

Dann ist t^2 = y+4 , also y = t^2 - 4 .

Und mit \( x=(y+4)^2 -4 \sqrt{y+4} \) ergibt sich

\( x=(t^2 - 4 +4)^2 - 4t = t^4 - 4t \)

Also ist jede Lösung

\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)

von der Form \(  \begin{pmatrix}t^4-4t\\t^2-4\end{pmatrix}\)

mit t≥0.

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Wenn ich den Beweis führe, darf ich dann o.B.d.A schreiben, wenn ich das Intervall festlege ?

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Du kannst doch schreiben. Da kein Intervall

festgelegt ist, darf ich wohl eines festlegen und

entscheide mich für I=...