Nullstelle von verschobener Parabel

Question

Aufgabe:

… Eine Parabel hat die Funktionsgleichung y=x^2-6x+11.

Problem/Ansatz:

verschiebe den Scheitel der Parabel so, dass es eine positive und eine negative Nullstelle gibt.

Answer 1

x^2-6x+3^2-3^2+11 = (x-3)^2 +2

S(3/2)

Verschiebe den Scheitel nach unten, sodass sein y-Wert <0 wird

Comments

sodass sein y-Wert <0 wird

Das reicht nicht. Der Scheitelpunkt muss unterhalb der Parabel y=-x^2 liegen.

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Kann man beweisen, woher diese Gleichung y= -x^2 kommt?

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Nehmen wir an, dass die verschobene Parabel (Formfaktor a=1 bleibt, Lageparameter b und c verändern sich) etwa zwei nicht-negative Nullstellen hat, dann ist im Extremfall eine bei x₁=0 und eine bei x₂=z>0. Die Funktionsgleichung ist dann f(x) = x*(x-z) und der Scheitelpunkt hat die x-Koordinate z/2 und die y-Koordinate f(z/2) = z/2*(z/2-z) = -(z/2)^2, der Scheitelpunkt liegt also auf der Parabel y=-x^2 und damit es zwei Nullstellen mit verschiedenen Vorzeichen gibt, muss er eben noch etwas tiefer liegen.
Für die Annahme zweier nicht-positiver Nullstellen verläuft die Überlegung analog.

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Rote Parabel durchZiehen an S verschieben, Nullstellen beobachten. blau : y=-x^2

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Vielen Dank für die Erklärung

Answer 2

y = x^2 - 6x + 11

Verschiebe die Funktion zunächst so nach unten das es eine Nullstelle bei x = 0 gibt.

y = x^2 - 6x = x·(x - 6)

Man hat also eine Nullstelle bei 0 und bei 6. Verschiebe nun die Funktion noch um eine weitere einheit nach unten, sodass es eine negative Nullstelle gibt

y = x^2 - 6x - 1

fertig.

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Vielen Dank!

Answer 3

Zeichne die Parabel.

Überlege Dir, dass wenn man +11 durch -11 ersetzt, die Aufgabe gelöst ist.

Answer 4

Ein Bild sagt mehr als Worte.

:-)

Comments

Welche Gleichung hat der blaue Graph bitte?

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y=x^2-6x+c mit c<0

Du kannst auf den Link rechts unten in der Graphik klicken und gelangst auf die desmos-Seite, auf der ich die Kurven gezeichnet habe.

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Vielen Dank!