Mit welchen Einerziffern endet die Zahl 27^(27^27)?

Question

Aufgabe:

Ich soll berechnen mit welchen Einerziffern die Zahl \( 27^{(27^{27})} \) endet!

Problem/Ansatz:

Dies müsste doch grundsätzlich mit dem Satz von Euler möglich sein.

Für alle \( a, n \in \mathbb{N} \) mit \( \operatorname{ggT}(a, n)=1 \) gilt \( a^{\varphi(n)} \equiv 1 \quad(\bmod n) \).

Mir ist aber trotzdem noch nicht ganz klar, wie ich vorgehen bzw. einsetzten muss.

Danke für Hilfe ☺

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mit welchen Einerziffern

Ich befürchte, da gibt es nur eine. Nämlich die 3.

Answer 1

Potenzen von 27 (und damit auch Potenzen von 7) enden der Reihe nach auf 7, 9, 3 und 1, dann geht der Spaß von vorn los.

\(27^{4k+1}\equiv 7 \mod 10\)

\(27^{4k+2}\equiv 9 \mod 10\)

\(27^{4k+3}\equiv 3 \mod 10\)

\(27^{4k}\equiv 1 \mod 10\)

Finde also heraus, ob der Exponent \(27^{27}\) mod 4 den Rest 1 oder 3 lässt (0 und 2 gehen aus naheliegenden Gründen nicht).

Comments

Vielen Dank.

Wenn ich richtig liege ist der Rest 3:

27=4*6+3

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3 ist korrekt. Zumindest hätte ich das auch heraus.

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Wen könnte die letzte Stelle der 6,34705*10^38-stelligen Zahl interessieren für einen praktischen Zweck?

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Bist du sicher, dass die Zahl tatsächlich genau 6,34705*10³⁸ Stellen hat?

Ich glaube, da hast du dich vertan. Rechne nach! (Oder rechne vor, wie du auf diese Zahl gekommen bist. Vielleicht finden wir deinen Fehler.)

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27^27^27 hat exakt 634704607339355474571695927232512278792 Stellen.

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https://www.wolframalpha.com/input?i=27%5E%2827%5E27%29

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Ich verneige mich vor deinem Wolfram.

Answer 2

Ich ergänze mal noch einen Weg per Satz von Euler:$$27 = 3^3 \text{ und } \phi(10) = 4\Rightarrow 3^4 \equiv_{10} 1$$$$27^{\left(27^{27}\right)} =3^{\color{blue}{3\cdot\left(27^{27}\right)}}$$Wir müssen also nur noch den Exponenten modulo 4 ermitteln:$${\color{blue}{3\cdot\left(27^{27}\right)}}\equiv_4 (-1)\cdot (-1)^{3\cdot 27} \equiv_4 1$$Also$$27^{\left(27^{27}\right)}\equiv_{10} 3^{\color{blue}{1}}\equiv_{10} 3$$

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Danke für die weitere Ausführung ☺