Beweise zu Eigenvektor und Skalarprodukt

Question

Augabe:

V ist ein endlich dimensionaler Vektrorraum mit Skalarprodukt. F und G sind Endomorphismen von V.

a) Wenn jeder Eigenvektor von f + f* ein Eigenvektor von f − f* ist, dann ist f normal.

b) Wenn f und g normal sind und f ◦ g = 0 gilt, dann gilt g ◦ f = 0.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich soll die beiden folgenden Aussagen beweisen, habe jedoch gar keine Ahnung wie das geht. Hat Jemand von Euch eine Ahnung? Vielen Dank im Voraus !

Answer 1

Nochmal kurz zur Wiederholung:

Ein Endomorphismus \(N \in L(V)\) ist normal, wenn er eine ONB von Eigenvektoren hat (N ist "unitär diagonalisierbar") bzw. - was äquivalent dazu ist - wenn \(N^{\star}N = NN^{\star}\).

a)

$$A =f+f^{\star}\Rightarrow A^{\star} =A \Rightarrow AA^{\star}= A^{\star}A = A^2$$$$B =f-f^{\star} \Rightarrow B^{\star} =-B \Rightarrow BB^{\star}= B^{\star}B = - B^2$$A und B sind also normal und haben per Voraussetzung dieselben Eigenvektoren. Damit sind A und B simultan unitär diagonalisierbar. Dann ist aber auch$$f= \frac 12(A+B) \text{ unitär diagonalisierbar}$$f ist also normal.

b) Für normale Operatoren N gilt \(\ker N = \ker N^{\star}\), denn

$$0 = <Nx,Nx> = <x,N^{\star}Nx> \stackrel{N^{\star}N=NN^{\star}}{=} <x,NN^{\star}x> = <N^{\star}x,N^{\star}x>$$

Allgemein gilt \(\ker N = (\operatorname{im} N^{\star})^{\perp}\) bzw. \(\ker N^{\star}  = (\operatorname{im} N)^{\perp}\) (Hausaufgabe: mal schnell per Skalarprodukt selber nachrechnen). Damit erhalten wir für normales N$$\operatorname{im} N^{\star} = \operatorname{im} N$$Damit ergibt sich für normale f,g:$$f\circ g= 0 \Rightarrow \operatorname{im} g \subseteq \ker f$$$$\Rightarrow \operatorname{im} g^{\star} \subseteq \ker f^{\star}$$$$\Rightarrow 0= f^{\star}\circ g^{\star} =(g\circ f)^{\star} $$$$\Rightarrow 0 = 0^{\star} = (g\circ f)^{\star\star} = g\circ f$$