Bestimmen sie die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen in Abhängigkeit von a.

Question

Aufgabe:

gegeben sind die Funktionen p mit p(x) = -x^2+a; aER und q mit q(x)= (8x-2)^2, wobei D(p)= D(q)=R gilt. Bestimmen sie die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen in Abhängigkeit von a. Führen Sie hierzu eine Fallunterscheidung bezüglich a durch.

Problem/Ansatz:

Ich habe beide Funktionen gleichgesetzt und dann =0 und dann die Mitternachtsformel:

-x^2+a=x^2-4x+4

-2x^2+4x+4+a=0

MNF-> x1=2,73 und x2=-0,73

Stimmt das? und wie geht es weiter? Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Liebe Grüße

Comments

Die Gleichung passt nicht zu den beiden Funktionen.

Answer 1

Sollen die Graphen von \(p_a\) und \(q\) genau einen gemeinsamen Punkt besitzen, so müssen sie sich berühren, das heißt, die Funktionswerte müssen übereinstimmen und die Werte der beiden Ableitungsfunktionen müssen auch gleich sein. Wir betrachten zunächst die Gleichung $$p'_a(x)=q'(x).$$ Die von \(a\) unabhängige Lösung \(x=\dfrac{16}{65}\) ist die einzig mögliche Berührstelle der beiden Graphen. Die Gleichung $$p_a\left(\dfrac{16}{65}\right)=q\left(\dfrac{16}{65}\right)$$ liefert das dazu passende, eindeutige \(a_1\), für das die beiden Graphen genau einen Schnittpunkt besitzen.

Mit größer werdendem \(a\) wandert \(p_a\) nach oben und es gibt immer zwei gemeinsame Punkte der beiden Graphen.

Wird a jedoch kleiner, haben die beiden Graphen keine gemeinsamen Punkte mehr.

Answer 2

q(x) = p(x)

(8·x - 2)^2 = - x^2 + a

64·x^2 - 32·x + 4 = - x^2 + a

65·x^2 - 32·x + 4 - a = 0

Diskriminante der abc-Formel

D = b^2 - 4·a·c <-- Achtung. Das a hier ist ein anderes wie das gleich eingesetzte.

D = (- 32)^2 - 4·65·(4 - a) = 260·a - 16 = 0 → a = 4/65

Keinen Schnittpunkt für D < 0: a < 4/65

Genau einen Schnitt bzw. Berührpunkt für D = 0: a = 4/65

Zwei Schnittpunkt für D > 0: a > 4/65