Aufgabe:
Sei \( (V,\langle·,·\rangle)\) ein euklidischer Vektorraum, \(U \subset V \) ein \( \mathbb{R} \)-Untervektorraum. Zeigen Sie, dass ein \( f \in \operatorname{End}_{\mathbb{R}}(V) \) mit den folgenden Eigenschaften existiert:
1. \( \|f(v)\| \leq\|v\| \) für alle \( v \in V \), und
2. \( \|f(v)\|=\|v\| \) gilt genau dann, wenn \( v \in U \).
Problem/Ansatz:
Zu 1. Sei \( f: V \rightarrow U \) mit \( v \mapsto f(v)=u\) die Projektion auf den \(K\)-Untervektorraum \(U\). Wir wissen das diese Abbildung \(K\)-linear ist.
Da \( U \subseteq V \) is \( V=U^{\perp} \oplus U \) und jedes \( v \in V \) ist eindeutig bestimmt durch \( v=u+w \) mit \( u \in U \), \( w \in U^{\perp} \). Dann ist \( f(u)=u \), da \( u \in U \) and \( \|f(v)\|=\|u\| \) sowie \( f(w)=0 \), da \( w \) orthogonal zu \(U\) ist.
Es folgt \( \|u\| \leqslant\|v\| \), denn für \( u^{\prime} \in U \) gilt \( \|v-u\| \leq\left\|v-u^{\prime}\right\| \). Also ist \( \|f(v)\|=\|u\| \leq\|v\| \) was die Behauptung liefert.
Zu 2. \( "\leftarrow"\)
Sei \( v \in U\), dann ist \( f(v)=v \) und somit \( \|f(v)\|=\|v\| \)
\( "\rightarrow"\)
Aus a) wissen wir das \( \|f(v)\| \leq\|v\| \). Da nun \( v \in U\) ist
\( \|v\|=\|u\| \) für alle \( u \in U \), somit \( \|f(v)\|= \|u\| = \|v\| \)
Lasst mich wissen, ob das so in Ordnung ist oder ich einen Denkfehler habe! Danke für jede Hilfe!
