Finden Sie ein Beispiel einer differenzierbaren Funktion f: ℝ → ℝ^{n} und eines Intervalls [a, b] \subset ℝ , sodass …

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 3 (4 Punkte)
Finden Sie ein Beispiel einer differenzierbaren Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) und eines Intervalls \( [a, b] \subset \mathbb{R} \), sodass kein \( \xi \in[a, b] \) mit
\( f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) \)
existiert. (Der Mittelwertsatz in dieser Form ist also nicht richtig für vektorwertige Funktionen.)

Answer 1

Hallo,

wie wäre es mit \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2, x \mapsto (\cos x, \sin x) \) und \( [a,b] = [0,2\pi]\)?

Comments

Aber der Mittelwertsatz funktioniert doch hier oder?

für a = 0 und b = 2π:
f(a) = f(0) = (cos(0), sin(0)) = (1, 0),
f(b) = f(2π) = (cos(2π), sin(2π)) = (1, 0).
f'(ξ)(b - a) = (-sin(ξ), cos(ξ)) * (2π - 0) = (-2πsin(ξ), 2πcos(ξ)).

Das ξ kann es ja geben für a - b

Lg

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Ist Dir klar, dass f(b)-f(a)=(0,0) ist?

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Okay ich habe es verstanden. Ich dachte, dass f'(ξ) ja auch = 0 sein kann aber das geht ja in dem Fall nicht.

Danke und Lg