Das ist einfach die Determinante einer 3x3-Matrix. Das sieht jetzt vielleicht so aus, als wären das die Produkte der Reihen, aber das stimmt nicht.
Puuh, wo fange ich da am besten an... also die Determinante det A oder auch |A| ist eine Zahl, die man einer Matrix A zuordnet. Sie hat ein bisschen ähnliche Eigenschaften wie z.B. der Betrag eines Vektors, aber sie hat auch gewisse Unterschiede, z.B. kann sie auch negativ sein und wenn sie 0 ist heißt das nicht automatisch, dass die Matrix die Nullmatrix ist.
Mit ihr kann man gewisse Aussagen über das Lösungsverhalten eines Gleichungssystems der Form A*x=b treffen und sie hat auch ein bisschen was mit einem Volumen im Raum zu tun. An sich hat sie mit ziemlich viel ein bisschen etwas zu tun, und sie taucht ständig an den unterschiedlichsten Stellen auf.
So z.B. auch hier, obwohl das eigentlich ein höchst analytisches Problem ist (Determinanten sind eigentlich ein Objekt der Algebra.)
Es gibt eine allgemeine Formel für die Determinante einer beliebigen nxn-Matrix, aber das führt wohl zu weit, ich nenne mal die Formeln bis zu n=3.
n=1: Eine 1x1-Matrix ist einfach eine Zahl und die Determinante ist dann auch einfach diese Zahl, das ist nicht besonders schwer.
n=2: Eine 2x2-Matrix hat die Form
$$ \left( \begin{array} { l } { a b } \\ { c d } \end{array} \right) $$
und ihre Determinante lautet ad-bc.
n=3: Eine 3x3-Matrix hat die Form
$$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$
Und ihre Determinante lautet:
aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb
Man kann sich das anhand der Diagonalen merken: Man denkt sich die Matrix noch einmal daneben und zeichnet dann alle möglichen Diagonalen ein: die, die links oben beginnen und nach rechts unten gehen nimmt man positiv und die die links unten beginnen und nach rechts oben gehen, nimmt man negativ.
Daher kommt dann das Ergebnis.
Zum ersten System: Damit die Funktionen linear unabhängig sind, muss mindestens eine Zahl existieren, für die die Determinante nicht 0 ist.
Der Umkehrschluss stimmt leider nicht, dass heißt, wenn die Determinante für eine Zahl 0 ist, bedeutet das nicht, dass die Funktionen linear abhängig sind. Das gilt nur, wenn sie für alle Zahlen, die man einsetzen kann 0 ist und das ist im Allgemeinen schwer zu zeigen, deswegen muss man dann tatsächlich einen Satz von Lambdas finden, für das die Linearkombination 0 ergibt.
Jetzt würde mich aber doch interessieren, aus welchem Antrieb du dich damit beschäftigst. Es kann ja gut sein, dass es auch noch andere Möglichkeiten gibt, die lineare Unabhängigkeit von Funktionen zu untersuchen, ich habs nunmal so gelernt. Wenn das wirklich Unistoff ist, fände ich es aber ziemlich gemein von euren Dozenten euch ohne das richtige Rüstzeug auf die Aufgaben loszulassen ;-)
