Beweisen Sie, dass gilt s ∈ σ(Ac) genau dann wenn s eine Nullstelle von von Pc ist

Question

Aufgabe:

Es sei für n ∈ ℕ und (a₀, . . . , a_n-1) ∈ ℝⁿ das Polynom
P_c(s) = \( \sum\limits_{i=0}^{\n-1}{a_isⁱ} \)   und die Matrix

A_c =\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -a₀ & -a₁ & .... & -a_n-1 \end{pmatrix} \)

gegeben. Beweisen Sie, dass gilt s ∈ σ(A_c) genau dann wenn s eine Nullstelle von von P_c ist

Problem/Ansatz: Könnte jemand helfen?

Comments

Was bedeutet der Index c bei P und A?

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Wurde leider nirgends definiert

Answer 1

Hoffen wir mal, dass der Index c keine wichtige Bedeutung hat. Wir lösen das Eigenwert-Problem für A: Sei also \(Ax=sx\); dann folgt aus der Definition von A für die ersten n-1 Zeilen:

$$x_{i+1}=sx_i, \quad i=1,\ldots n-1 \Rightarrow x_k=s^{k-1}x_1, \quad k=1, \ldots, n$$

Die letzte Zeile verlangt:

$$sx_n=-\sum_{k=1}^na_{k-1}x_k \iff s^nx_1=-\sum_{k=1}^na_{k-1}´s^{k-1}x_1$$

Da ein Eigenvektor nicht der Null-Vektor sein darf, folgt \(x_1 \neq 0\) und daher

$$s^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_ks^k=0$$. Und umgekehrt.

Problem: Meine Lösung stimmt nicht ganz mit Deiner Aufgabenstellung überein.