Es gilt AB = AC, genau dann wenn gilt AHAB = AHAC. Wie kann man das zeigen/beweisen?

Question

Aufgabe:

Seien A, B, C ∈ C^n×n

Zeigen Sie die folgende Aussage:
Es gilt AB = AC, genau dann wenn gilt A^HAB = A^HAC.

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Behauptung: \(\quad AB=AC\quad\Longleftrightarrow\quad A^HAB=A^HAC\quad\) mit \(A,B,C\in\mathbb C^{n\times n}\)

\(\implies\) Die Hin-Richtung ist wegen der Eindeutigkeit der Matrixmultiplikation klar:$$AB=AC\implies A^H\cdot AB=A^H\cdot AC$$

\(\Longleftarrow\) Für die Rück-Richtung betrachte:$$A^HAB=A^HAC\implies A^HAB-A^HAC=0\implies A^H(AB-AC)=0$$Nach dem Satz vom Nullprodukt ist \(A^H=0\) oder \((AB-AC)=0\):$$A^H=0\implies A=0\implies AB=0\,\land\, AC=0\implies AB=AC$$$$AB-AC=0\implies AB=AC$$

Comments

Der Satz vom Nullprodukt gilt bei Matrizen-Multiplikationen nicht (allgmein), Beispiel

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$

---

Besten Dank!

---

Weißt Du denn jetzt, fie man es richtig beweist?