Es gilt AB = AC, genau dann wenn gilt AHAB = AHAC. Wie kann man das zeigen/beweisen?

Question

Aufgabe:

Seien A, B, C ∈ C^n×n

Zeigen Sie die folgende Aussage:
Es gilt AB = AC, genau dann wenn gilt A^HAB = A^HAC.

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Behauptung: $\quad AB=AC\quad\Longleftrightarrow\quad A^HAB=A^HAC\quad$ mit $A,B,C\in\mathbb C^{n\times n}$

$\implies$ Die Hin-Richtung ist wegen der Eindeutigkeit der Matrixmultiplikation klar:$$AB=AC\implies A^H\cdot AB=A^H\cdot AC$$

$\Longleftarrow$ Für die Rück-Richtung betrachte:$$A^HAB=A^HAC\implies A^HAB-A^HAC=0\implies A^H(AB-AC)=0$$Nach dem Satz vom Nullprodukt ist $A^H=0$ oder $(AB-AC)=0$:$$A^H=0\implies A=0\implies AB=0\,\land\, AC=0\implies AB=AC$$$$AB-AC=0\implies AB=AC$$

Comments

Der Satz vom Nullprodukt gilt bei Matrizen-Multiplikationen nicht (allgmein), Beispiel

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$

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Besten Dank!

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Weißt Du denn jetzt, fie man es richtig beweist?