Aloha :)
1) Bestimmung der kritischen Stelle
Für \(y>0\) heben \(e^y\) und \(\ln(y)\) ihre Wirkungen gegenseitig auf \((y=e^{\ln(y)})\).
Da \((x>0)\) gilt, ist auch \((y(x)\coloneqq x^{1/x}>0)\) und es gilt:$$y(x)=e^{\ln(y(x))}=e^{\ln(x^{\frac1x})}=e^{\frac1x\ln(x)}$$
Mittels der Kettenregel erhalten wir die erste Ableitung:$$y'(x)=\underbrace{e^{\frac1x\ln(x)}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\overbrace{\frac1x}^{=u}\cdot\overbrace{\ln(x)}^{=v}\right)'}_{\text{innere Abl.}}=\underbrace{e^{\frac1x\ln(x)}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\overbrace{-\frac{1}{x^2}}^{=u'}\cdot\overbrace{\ln(x)}^{=v}+\overbrace{\frac1x}^{=u}\cdot\overbrace{\frac1x}^{=v'}\right)}_{\text{innere Abl.}}$$$$y'(x)=e^{\frac1x\ln(x)}\cdot\frac{1-\ln(x)}{x^2}$$
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, wird \(y'(x)\) nur genau dann \(0\), wenn der Zähler \(0\) wird. Der einzige kritische Punkt der Funktion ist daher: \(\pink{x_0=e}\).
2) Monotonie-Verhalten
Wie oben schon gesagt wurde, ist die Expoentialfunktion stets positiv. Weiter ist der Nenner \(x^2\) der ersten Ableitung stets positiv. Das Vorzeichen der ersten Ableitung und damit die Steigung der Funktion, wird daher allein durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt. Da \(\ln(x)\) streng monoton wächst (denn ihre Ableitung \(\frac1x\) ist stets positiv) gilt:
$$x<x_0=e\implies\ln(x)<\ln(e)=1\implies1-\ln(x)>0\implies y'(x)>0$$$$x>x_0=e\implies\ln(x)>\ln(e)=1\implies1-\ln(x)<0\implies y'(x)<0$$
3) Beweis, dass \(\pi^e<e^\pi\) gilt.
Wir haben in (i) gezeigt, dass \(x_0=e\) der einzige kritische Punkt ist.
In (ii) haben wir gezeigt, dass bei \(x_0=e\) das globale Maximum der Funktion liegt, denn für \(x<e\) ist die Funktion streng monoton steigend und für \(x>e\) ist sie streng monoton fallend.
Daher gilt:$$y(e)>y(\pi)\implies e^{\frac1e}>\pi^{\frac1\pi}\implies \left(e^{\frac1e}\right)^{\pi\cdot e}>\left(\pi^{\frac1\pi}\right)^{\pi\cdot e}\implies e^\pi>\pi^e$$
