Aloha :)
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist \(\green{0,12}\).
Dann ist die Wahrscheinlichkeit für eine Niete \(1-0,12=\red{0,88}\).
zu a) Wenn Annika 7 Lose bis zum ersten Gewinn kaufen muss, sind die ersten 6 Lose Nieten und das 7-te Los ist ein Gewinn.$$p_a=\red{0,88}^6\cdot\green{0,12}\approx0,0557=5,57\%$$
zu b) Hier rechnen wir ganz extrem und überlegen uns die Wahrscheinlichkeit, dass alle 17 Lose von Tommy Nieten sind. Das Gegenereignis dazu ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Tommy mindestens 1 Gewinn hat:$$p_b=1-p(\text{17 Nieten})=1-\red{0,88}^{17}\approx0,8862=88,62\%$$
zu c) In (b) haben wir gesehen, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Gewinn bei 17 Losen mit \(88,62\%\) noch deutlich unter den angestrebten \(0,95\%\) liegt. Wir müssen also anstatt der \(17\) die Anzahl \(n\) der Lose so bestimmen, dass Folgendes gilt:$$1-p(\text{\(n\) Nieten})\ge0,95\quad\big|p(\text{\(n\) Nieten})=\red{0,88}^n$$$$1-\red{0,88}^n\ge0,95\quad\big|+\red{0,88}^n$$$$1\ge0,95+\red{0,88}^n\quad\big|-0,95$$$$0,05\ge\red{0,88}^n\quad\big|\ln(\cdots)$$$$\ln(0,05)\ge n\cdot\ln(\red{0,88})\quad\big|\div\ln(\red{0,88})$$Beachte, dass \(\ln(\red{0,88})<0\) ist. denn bei der Division durch eine negative Zahl kehrt sich das Relationszeichen \(\ge\) in \(\le\) um:$$\frac{\ln(0,05)}{\ln(\red{0,88})}\le n\quad\big|\text{Taschenrechner}$$$$23,43\ldots\le n$$Ab \(n=24\) Lose liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn bei über 95%.
