Beweis und fragen zu universellen Eigenschaften

Question

Hallo,

ich befine mich gerade bei den universellen Eigenschaften (UE).

Aus der Vorlesung habe ich verstanden, dass der Beweis wie folgt abläft:

  - Man muss die Existen beweisen, also ein allgemeingülties Konstrukt konstruieren, dass die UE erfüllt
  - Zeigen, dass es eine Eindeutge Abbildung gibt(im Falle der kategoriellen Produktedie Abbildung von der einen Gruppe zur anderen Gruppe)
  - Man muss zeigen, dass nur die eindeutige Isomorphie aus der Eindeutigkeit herausgenommen → Immer das gleiche Argument: Zwei solcher mathematischen Objekte bilden, dann diese Verknüpfen und zeigen, dass die Verknüpfung gleich der Identitä ist (da es nur eine lineare Abbidung geben kann).

Dazu habe ich aber die beiden Fragen:

  - Wieso ist die eindeutige Isomorphie aus der Eindeutigkeit herausgenommen, aber um die "...bis auf eindeutige Isomorphie" zu zeigen, nutzt man die Eindeutigkeit?
  - Im Skript steht, dass die Eindeutigkeit immer sofort folgt, warum?

  - Bzw. im Skript ist auch immer von der Eindeutigkeit die Rede, wenn "...bis auf eindeutige Isomorphie" gezeigt wird, also wenn wir dann einen Isomorphismus konstruieren, steht da, dass daraus auch die Eindeutigkeit folgt. Warum?

Über Hilfe freue ich mich!

Answer 1

Der jeweilige im UE-Beweis vorkommende

Morphismus ist zwar durch die Eindeutigkeitsforderung

eindeutig bestimmt und erweist sich in den in Rede stehenden

Fällen als ein Isomorphismus, jedoch keineswegs

notwendig als Identität: "Lösungen" universeller Probleme sind

immer "nur" bis auf Isomorphie bestimmt.

Comments

Ok, danke erstmal für deine Antwort. Aber wieso wird dann bewiesen, dasss es einen Isomorphismus von zwei Strukturen gibt, und dass dann die Identität ist?

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Es werden zwei Morphismen \(f\) und \(g\) so

hintereinander ausgeführt, dass \(f\circ g\) und \(g\circ f\)

einen geeigneten Morphismus des universellen Objektes \(U\) auf sich

liefern. Da die identische Abbildung ebenfalls ein geeigneter Morphismus

\(U\to U\) ist, folgt aus dessen Eindeutigkeit, dass \(f\circ g=id_U\)

und \(g\circ f = id_U\) sein muss.

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Ja, so dachte/meinte ich das auch. Aber man muss bei dem Beweis einer UE einmal zeigen, dass sie überhaupt existiert, dann, dass sie eindeutig ist und zuletzt, dass "...bis auf eindeutge Isomorphie" (das so wie du geschrieben hattest)?

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Das verstehe ich nicht. Warum soll das konstruierte Objekt, das

zusammen mit gewissen Strukturabbildungen Lösung eines

Universellen Problems ist, eindeutig sein?

In der Formulierung der universellen Eigenschaft wird doch

immer nur verlangt, dass gewisse Morphismen zu vorgegebenen

Diagrammen eindeutig sein müssen. Bezgl. der Eindeutigkeit

der Objekte wird gar nichts verlangt.

Mir ist nicht klar, ob du über die Eindeutigkeit von Objekten

oder von Pfeilen (Morphismen) sprichst.

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Entschuldige für die Verwirrung, ich hatte mich unkonkret ausgedrückt: Mit der Existenz meine ich ein solches Objekt, dass die UE erfüllt. Mit der Eindeutigkeit meine ich eine Abbildung (Morphismus), der ja bei den UE immer eindeutig sein muss.

Habe ich das deiner Antwort richtig entnommen, dass das "...bis auf eindeutigen Isomorphismus..." gar nicht um die lineare Abbildung geht (die ich oben mit Eindeutig meine), sondern um ein weiteres solches zu konstruierende Objekt?