Zeigen Sie Untervektorraum, F-invarianter Unterraum und dass eine Basis gegeben ist

Question

Text erkannt:

Es bezeichne \( \mathcal{S}(n \times n, \mathbb{R}) \subset M(n \times n, \mathbb{R}) \) die Menge aller reellen symmetrischen \( n \times n \) Matrizen.

Beweisen oder widerlegen Sie: Die Menge \( \mathcal{S}(n \times n, \mathbb{R}) \) aller symmetrischen Matrizen ist ein Untervektorraum von \( M(n \times n, \mathbb{R}) \).
Sei \( U \in M(n \times n, \mathbb{R}) \) und betrachten Sie die Abbildung
\( F: M(n \times n, \mathbb{R}) \rightarrow M(n \times n, \mathbb{R}), A \mapsto U^{T} A U=: F(A) \)
Zeigen Sie, dass \( \mathcal{S}(n \times n, \mathbb{R}) \) ein \( F \)-invarianter Unterraum ist.
Beweisen Sie, dass durch \( \mathcal{B}=\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}\right) \) mit
\( B_{1}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad B_{2}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad B_{3}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
eine Basis von \( \mathcal{S}(2 \times 2, \mathbb{R}) \) gegeben ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?

Answer 1

1. Sei \(S:=S(n\times n,\mathbb{R}), \; M:=M(n\times n,\mathbb{R})\).

Dann ist \(f:\; M\to M, A\mapsto A-A^T\) eine lineare Abbildung und

\(S=\ker(f)\), also ein Untervektorraum von \(M\).

2. Zu zeigen ist: \(A\in S\Rightarrow F(A)\in S\).

Sei also \(A\in S\).

Dann gilt \(F(A)^T=(U^TAU)^T=U^TA^T(U^T)^T=U^TAU=F(A)\).

Answer 2

Hallo

du kannst das ja erstmal für 2×2 machen. dann siehst du wie es läuft. wie man UVR zeigt weisst du doch mit A und B muss auch r*A und A+B dazu gehören und der Nullvektor.

Also mach dir selbst ein wenig Arbeit und frag dann an den Stellen, wo du nicht weiter kommst.

Gruß lul