Aloha :)
zu b) Wir beginnen mit dem Satz von Stokes \((d\vec f\times\vec\nabla=d\vec r)\):
$$I_b=\oint\limits_Cd\vec r\begin{pmatrix}xe^{x^2+y^2}\\ye^{x^2+y^2}\\z\end{pmatrix}=\int\limits_{F(C)}(d\vec f\times\vec\nabla)\begin{pmatrix}xe^{x^2+y^2}\\ye^{x^2+y^2}\\z\end{pmatrix}=\int\limits_{F(C)}\vec\nabla\times\begin{pmatrix}xe^{x^2+y^2}\\ye^{x^2+y^2}\\z\end{pmatrix}d\vec f$$Die Fläche \(F(C)\), die von dem Weg \(C\) umschlossen wird, liegt in der xy-Ebene, denn die z-Koordinaten der Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) sind null. Daher ist$$d\vec f=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dx\,dy$$und wir brauchen nur die z-Komponente der Rotation zu bestimmen:$$\nabla\times\begin{pmatrix}xe^{x^2+y^2}\\ye^{x^2+y^2}\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\text{egal}\\\text{egal}\\0\end{pmatrix}$$Rein Formal heißt das für das Integral:$$I_b=\int\limits_{F(C)}\begin{pmatrix}\text{egal}\\\text{egal}\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dx\,dy=\int\limits_{F(C)}0\,dx\,dy=0$$
zu a) Beim Kurvenintegral zerlegen wir den geschlossenen Weg \(C\) um das Dreieck$$C\colon\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\stackrel1\to\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\stackrel2\to\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\stackrel3\to\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$in drei Etappen. Bei den ersten beiden Etappen ändert sich immer nur genau eine Koordinate und die beiden anderen bleiben konstant, sodass das zugehörige Differential verschwindet:
$$I_1=\underbrace{\oint\limits_{(0;0;0)}^{(1;0;0)}\begin{pmatrix}xe^{x^2+y^2}\\ye^{x^2+y^2}\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}_{y=0=\text{const}\;\land\;z=0=\text{const}}=\int\limits_{x=0}^1\begin{pmatrix}xe^{x^2}\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\0\\0\end{pmatrix}=\int\limits_0^1xe^{x^2}\,dx$$
$$I_2=\underbrace{\oint\limits_{(1;0;0)}^{(1;1;0)}\begin{pmatrix}xe^{x^2+y^2}\\ye^{x^2+y^2}\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}_{x=1=\text{const}\;\land\;z=0=\text{const}}=\int\limits_{y=0}^1\begin{pmatrix}e^{1+y^2}\\ye^{1+y^2}\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\dy\\0\end{pmatrix}=e\int\limits_{0}^1ye^{y^2}\,dy$$
Auf der dritten Etappe ändern sich zwei Koordinaten. Wir parametrisieren die Gerade durch einen Parameter \(t\) wie folgt:$$C_3\colon\vec r=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-t\\1-t\\0\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$Dann erhalten wir als Intergral für die dritte Etappe:$$I_3=\int\limits_{(1;1;0)}^{(0;0;0)}\begin{pmatrix}xe^{x^2+y^2}\\ye^{x^2+y^2}\\z\end{pmatrix}d\vec r=\int\limits_{t=0}^1\begin{pmatrix}x(t)e^{x^2(t)+y^2(t)}\\y(t)e^{x^2(t)+y^2(t)}\\z(t)\end{pmatrix}\frac{d\vec r}{dt}\,dt$$$$\phantom{I_3}=\int\limits_{t=0}^1\begin{pmatrix}(1-t)e^{(1-t)^2+(1-t)^2}\\(1-t)e^{(1-t)^2+(1-t)^2}\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}dt=\int\limits_{t=0}^12(t-1)e^{2(1-t)^2}dt$$
Die drei Integrale sind nicht schwer zu berechnen, wir addieren sie direkt zum Ergebnis:$$I_a=I_1+I_2+I_3=\left[\frac{e^{x^2}}{2}\right]_0^1+e\,\left[\frac{e^{y^2}}{2}\right]_0^1+\left[\frac{e^{2(1-t)^2}}{2}\right]_0^1$$$$\phantom{I_3}=(1+e)\left(\frac e2-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac{e^2}{2}\right)=\frac e2-\frac12+\frac{e^2}{2}-\frac e2+\frac12-\frac{e^2}{2}=0$$
