Aussagen zu einer Gruppe beweisen

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 3 (4 Punkte). Beweisen Sie Satz 20.1.4 aus der Vorlesung: Sei \( (G, *) \) eine Gruppe, und seien \( a, b, c \in G \). Dann gelten
(i) \( a * b=a * c \Longrightarrow b=c \),
(ii) \( a * b=c * b \Longrightarrow a=c \),
(iii) \( \left(a^{-1}\right)^{-1}=a \),
(iv) \( (a * b)^{-1}=b^{-1} * a^{-1} \).
Geben Sie für jedes Gleichheitszeichen eine Begründung an.

Problem/Ansatz:

Wie so oft weiß ich nicht wie ich bei einem Beweis vorgehen soll. Die Regeln machen Sinn, aber wie soll ich sowas zeigen, mir würden da nur Beispiele einfallen. Kann mir hier vielleicht das Assoziativgesetz helfen? Brauche einen Denkanstoß xD

Answer 1

Da es sich um eine Gruppe handelt, gelten die Gruppenaxiome,

egal wie die Verknüpfung konkret aussieht.

Als Beispiel (i):

Es gelte \(a*b=a*c\). Da in einer Gruppe zu jedem Element das

inverse existiert, gilt \(a^{-1}\in G\).

Wegen \(a*b=a*c\) folgt \(a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*(a*c)\)

Wegen der Assoziativität gilt dann auch

\((a^{-1}*a)*b=(a^{-1}*a)*c\), also

\(e*b=e*c\Rightarrow b=c\), wenn \(e\) das neutrale

Element ist.

Comments

Danke dir. Das ergibt Sinn.

Answer 2

Meistens hilft der Rückgriff auf die Definition des Verknüpfungszeichens _*. Da diese Definition hier jedoch nicht genannt wird, kann man nicht wissen, ob das ein brauchbarer Hinweis ist.

Comments

Wie das Verknüpfungszeichen \(*\) konkret definiert ist, spielt in diesem Zusammenhang überhaupt keine Rolle.

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Im Skript steht folgendes: Unter einer (inneren) Verknüpfung auf einer Menge G versteht man eine Vorschrift ∗, die zwei
gegebenen Elementen a, b ∈ G ein neues Element a ∗ b ∈ G zuordnet, d.h. eine Abbildung
∗ : G × G → G, (a, b) → a ∗ b.
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, so dass die sogenannten Gruppenaxiome erfüllt sind: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

Hilft mir/euch das irgendwie weiter?

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Ich vermute ja eher das die folgende Definition wichtig für die Beweise ist:

Definition 20.1.1. Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar (G, ∗), bestehend aus einer nichtleeren
Menge G und einer (inneren) Verknüpfung ∗ : G×G → G, so dass die folgenden Eigenschaften
erfüllt sind:
(i) (Assoziativgesetz) Für alle a, b, c ∈ G gilt
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
(ii) Es existiert ein neutrales Element e ∈ G, so dass e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G.
(iii) Zu jedem a ∈ G existiert ein inverses Element b ∈ G, so dass a ∗ b = b ∗ a = e ist.

Wüsste jetzt aber wie gesagt auch nicht wie ich konkret vorgehen soll.

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Ja, MatheLehrling1. Da gebe ich dir Recht !