Bijektion einer Gruppe allgemein beweisen?

Question

Ich habe aus einer alten Klausur die folgende Aufgabe gefunden, welche mich während meiner Klausurvorbereitung ein wenig aufgehalten hat: Es sei eine Gruppe G gegeben. Zeigen sie für alle g € G ist G -> G mit g->g*x eine Bijektion.
Wie ist etwas so allgemein zu zeigen? Ich könnte bisher nur erklären, warum die Abbildung wohldefiniert ist, dass ja Abgeschlossenheit gilt und die 0 nicht in G enthalten sein kann etc. Leider allerdings nichts was tatsächlich auf eine Bijektion hinweisen würde. Gibt es denn wirklich keinen Fall in dem dies nicht gilt?

Comments

Ich bin jetzt auf die Idee gekommen, dass es dementsprechend ja eine Umkehrabbildung geben müsste. Diese würde dann ja entsprechend auch von G nach G abbilden mit x->x/g wie beweise ich nun, dass diese auch existiert? Sprich das ein solches g auch in G enthalten ist?

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Du hast eine entscheidende Bedingung vergessen: Die Gruppe G muss endlich sein. Die Abb. $$\mathbb Z \to \mathbb Z g\mapsto 2g$$ ist nicht surjektiv. Um bijektiv zu zeigen, zeigt man definitionsgemäß injektiv und surjektiv. Man kann auch über die Existenz einer Umkehrabb. gehen, dann muss man so eine konstruieren/angeben. Was soll x/g in der gruppe G bedeuten? Ferner enthält nicht jede Gruppe 0, z.B. $$(\mathbb Q,\cdot )$$

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Nein ich habe nichts vergessen, die ganzen Zahlen bilden mit der Multiplikation nämlich keine Gruppe. Und ich weiß, dass es Gruppen gibt die die 0 nicht enthalten, dass sage ich ja auch ausdrücklich. Hier muss dies nämlich der Fall sein, da es um eine Gruppe bzgl. der Multiplikation geht wie bereits erwähnt

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Die ganzen zahlen bilden aber mit Addition eine Gruppe. Es ist vollkommen egal wie die Verknüpfung in einer Gruppe aussieht.

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Es geht aber doch um eine Multiplikation? Wie willst du in einer additiven Gruppe multiplizieren, wenn dies ausdrücklich teil der Aufgabenstellung ist?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_%28Mathematik%29 Im Abschnitt: Anmerkungen zur Notation. Das * der Aufgabe ist keine Multiplikation, das ist die verknüpfung der Gruppe.

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Mit dem Sternzeichen ist kein Platzhalter für eine Verknüpfung gemeint falls du das meinst, es handelt sich hier schon um eine ganz gewöhnliche Multiplikation, keine Sorge ;)

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Auch wenn der Rest von gg90 Müll ist, * steht in der Gruppe für die Verknüpfung. Dies kann die bekannte, gewöhnliche Multiplikation sein, muss es aber nicht. * ist auch kein Platzhalter sondern eine bezeichnung. Z.B. ist für $$\mathbb Z=G$$ die Abb. der Angabe gegeben durch: $$\mathbb Z \to \mathbb Z, g\mapsto g+x$$

Answer 1

In der Tat ist die Idee mit der Umkehrabb. eine gute: $$G\to G g\mapsto g*x^{-1}$$ ist(!) die Umkehrabb. zur gegebenen Abb. für beliebige Gruppen (G,*).