Dichte - Zufallsvariable - Verteilungsfunktionen - Erwartungswerte

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Werte des Parameters \( c \), sodass
1) die Funktion \( f(x)=c, x \in[0,1] \) und \( f(x)=0 \), sonst, eine Dichte einer \( [0,1] \)-wertigen Zufallsvariable \( X \) angibt;
2) die Funktion \( f(x)=c, x \in[a, b] \) und \( f(x)=0 \), sonst, eine Dichte einer \( [a, b] \)-wertigen Zufallsvariable \( X_{1} \) angibt;
3) die Funktion \( f(x)=c \cdot e^{-2 \cdot x}, x>0 \) und \( f(x)=0, x>0 \), eine Dichte einer \( [0,+\infty]- \) wertigen Zufallsvariable \( Y \) angibt;
4) die Funktion \( f(x)=c \cdot e^{-\lambda \cdot x}, x>0 \) und \( f(x)=0, x>0 \), eine Dichte einer \( [0,+\infty]- \) wertigen Zufallsvariable \( Y_{1} \) angibt.
Finden Sie in allen Fällen die Verteilungsfunktionen und die Erwartungswerte (auch als Funktionen von den Parametern \( a, b \) oder \( \lambda \).)

Comments

Bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung erhältst du die zugehörige Verteilungsfunktion durch Integration der Dichtefunktion.

Es gilt u.a.

f(x) = a*e^(bx) -> f(x) = a/b*e^(bx)+ C

Answer 1

Eine Dichtefunktion \(f\) muss \(\int_{-\infty}^{\infty}\!f(x)\,\mathrm{d}x=1\) erfüllen. Die Grenzen des Integrals passen sich hier jeweils an, da die angegebene Funktion nur auf einem vorgegebenen Intervall ungleich 0 ist.

So ergibt sich für das erste Beispiel:

\(\int_{0}^{1}\!c\,\mathrm{d}x=c\stackrel{!}{=}1\) und damit \(c=1\), also \(f(x)=1\).

Die Verteilungsfunktion ist definiert als

\(F(x)=P(X\leq x)=\int_0^x\!f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^x\!1\,\mathrm{d}x=x\). Damit ergibt sich

\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\x,&0\leq x \leq 1,\\1,&x>1.\end{cases}\)

Der Erwartungswert ist definiert als

\(E[X]=\int_0^1\!xf(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^1\!x\cdot 1\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\).

Die übrigens Aufgaben funktionieren analog und sollten für das Verständnis selbstständig nachgerechnet werden.