Welchen Flächeninhalt hat das graue Viereck in dem Fünfeck?

Question

Aufgabe: Dies ist eine Aufgabe aus dem Känguru-Wettbewerb, und zwar von 2023 für die Klassen 11-13:

Das große Fünfeck im Bild wurde in sieben Teile zerlegt. Die Zahlen
in den Dreiecken geben jeweils deren Flächeninhalt in cm² an.
Welchen Flächeninhalt hat das graue Viereck?

Problem/Ansatz: Diese Aufgabe ist ohne Taschenrechner zu lösen. Ich finde bei dieser Aufgabe überhaupt keinen Ansatz und wäre dankbar, wenn mir jemand einen Tipp geben würde, ohne den gesamten Lösungsweg zu verraten.

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Ausführliche Lösung findet sich in  https://www.spektrum.de/raetsel/wie-gross-ist-die-vierte-flaeche/1960519

Answer 1

Hallo,

teile das Viereck in zwei Dreiecke.

:-)

PS:

Die Aufgabe kann man im Kopf lösen.

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Nachtrag:

Da der Coach die Lösung bereits genannt hat, beschreibe ich meinen Gedankengang.

Der Flächeninhalt des Dreiecks A_∆ = ½•g•h.

Die beiden Dreiecke unten links haben die Flächeninhalte 2 und 3. Da sie die gleiche Höhe haben, müssen die Grundseiten im Verhältnis 2:3 stehen. Auf der anderen Seite befindet sich das Dreieck mit Flächeninhalt 9 und ein unbekanntes Dreieck, die auch beide die gleiche Höhe haben.

Die Flächeninhalte stehen auch im Verhältnis 2:3, also

A1 : 9 = 2 : 3

Damit ist A1 = 6.

Analoge Überlegungen führen zu

A2 : 5 = 8 : 4

Also A2 = 10.

Insgesamt A = A1 + A2 = 6 + 10 = 16.

Comments

Kann ich davon ausgehen, dass alle Dreiecke rechtwinklig sind?

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Kann ich davon ausgehen, dass alle Dreiecke rechtwinklig sind?

Natürlich nicht.

Aber du kannst davon ausgehen das sich eine Dreiecksfläche über

A = 1/2·a·b·sin(γ) berechnen lässt.

Weiterhin kannst du davon ausgehen, dass der Strahlensatz gilt.

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Aber du kannst davon ausgehen das sich eine Dreiecksfläche über

A = 1/2·a·b·sin(γ) berechnen lässt.

Das braucht hier kein Mensch. Man muss von Dreiecken mit identischer Höhe nur das Verhältnis ihrer Grundseiten betrachten.

Da sich links Teilflächen und damit deren Grundseiten wie 9:3 verhalten, gilt
A(links) : 2 = 9 :3.

Da sich rechts Teilflächen und damit deren Grundseiten wie 8:4 verhalten, gilt
A(rechts) : 5 = 8 :4.

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... dass der Strahlensatz gilt.

Den Strahlensatz braucht man nicht! Es reicht zu wissen, wie die Fläche eines Dreiecks berechnet wird (ohne sin&cos).

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

Interessanterweise entspricht mein Nachtrag den Kommentaren von abakus und Werner-Salomon.

☺

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Interessante Zusatzaufgabe:

Gegeben sei das kleine Dreieck links unten mit Flächeninhalt 2.

Konstruiere das Fünfeck (mit Zirkel und Lineal versteht sich).

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Klickt auf das Bild ;-)

dann lassen sich die Punkte \(A\) und \(F\) verschieben.

Answer 2

2·9/3 + 5·8/4 = 16

Die Lösung allerdings ohne Weg ist bereits online

https://www.mathe-kaenguru.de/wettbewerb/loesung/kaenguru_loesungen_alle.pdf

Comments

Wie kommst du auf die Lösung?

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Wende das an, was ich als Tipp gegeben habe:

Aber du kannst davon ausgehen das sich eine Dreiecksfläche über

A = 1/2·a·b·sin(γ) berechnen lässt.

Weiterhin kannst du davon ausgehen, dass der Strahlensatz gilt.

Das bedeutet konkret A ist proportional zu a wenn sich b und sin(γ) nicht ändern.

du darfst auch wissen das gilt: sin(γ) = sin(180° - γ)

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Wenn du annimmst, dass die Dreiecke mit den Flächen von 3 und 9 eine gemeinsame Höhe und Grundseiten haben, die auf einer gemeinsamen Geraden liegen, dann gilt, dass das Verhältnis der Grundseiten gleich dem Verhältnis der Dreiecksflächen ist.

Das gilt ebenso für die Dreiecke mit den Flächen 2 und x.

D.h. es gilt

x/2 = 9/3 oder x = 2·9/3

auf der anderen Seite gilt

y/5 = 8/4 oder y = 5·8/4

Die Summe x + y aufstellen ist keine große Kunst.