Welche Funktionen ergeben x^2?

Question

Aufgabe: Dies ist eine Aufgabe aus dem Känguruwettbewerb 2023.

Die zwei Funktionen f und g erfüllen für alle reellen Zahlen x die Gleichungen
f (x) + 2g(1 − x) = x² und f (1 − x) − g(x) = x². Gesucht ist die Funktion f(x).

Es werden als Antwortmöglichkeiten kubische, quadratische bzw lineare Funktionen vorgegeben.

Wie muss ich vorgehen, um f(x) zu bestimmen? Mir fehlt der Ansatz. Bringt mir die Gleichsetzung der Terme etwas?

f (x) + 2g(1 − x) = f (1 − x) − g(x)  

Kann man diesen Term vereinfachen?

Comments

Du könntest aus deinem Ansatz einzelne Gleichungen für x=0, x=1, x=? und so weiter neue Gleichungen erzeugen und als Gleichungssystem behandeln.

---

Bringt mir die Gleichsetzung der Terme etwas?

Vermutlich nicht.

Erinnere dich an das Lösen linarer Gleichungssysteme :
Aus x+2y = 7 und x-y = 7 wird man nicht die schöne Information "7" wegschmeißen, indem man x+2y = x-y produziert. Stattdessen könnte man die zweite Gleichung nach y auflösen und in die erste einsetzen um y wegzuschmeißen und x zu berechnen. Und diese Methode funktioniert auch hier.

Answer 1

Fange mit der 2. Gleichung an

f(1 - x) - g(x) = x^2
g(x) = f(1 - x) - x^2

Also

g(1 - x) = f(1 - (1 - x)) - (1 - x)^2
g(1 - x) = f(x) - (1 - x)^2

Nun benutzen wir die 1. Gleichung und setzen die 2. ein

f(x) + 2·g(1 - x) = x^2
f(x) + 2·(f(x) - (1 - x)^2) = x^2
f(x) + 2·f(x) - 2·(1 - x)^2 = x^2
3·f(x) = 2·(1 - x)^2 + x^2
3·f(x) = 3·x^2 - 4·x + 2
f(x) = x^2 - 4/3·x + 2/3

Nun könnte man auch g(x) bestimmen

g(x) = f(1 - x) - x^2
g(x) = (1 - x)^2 - 4/3·(1 - x) + 2/3 - x^2
g(x) = 1/3 - 2/3·x

Answer 2

\(\begin{aligned} &  & f\left(x\right)+2g\left(1-x\right) & =x^{2}\\ & \implies & f\left(x\right) & =x^{2}-2g\left(1-x\right)\\ \\ &  & f\left(1-x\right)-g\left(x\right) & =x^{2}\\ & \implies & f\left(1-x\right) & =x^{2}+g\left(x\right)\\ & \implies & f\left(1-\left(1-x\right)\right) & =\left(1-x\right)^{2}+g\left(1-x\right)\\ & \implies & f\left(x\right) & =\left(1-x\right)^{2}+g\left(1-x\right)\\ \\ &  & x^{2}-2g\left(1-x\right) & =\left(1-x\right)^{2}+g\left(1-x\right)\\ & \implies & 3g\left(1-x\right) & =x^{2}-\left(1-x\right)^{2}\\ & \implies & 3g\left(1-\left(1-x\right)\right) & =\left(1-x\right)^{2}-\left(1-\left(1-x\right)\right)^{2}\\ & \implies & 3g\left(x\right) & =\left(1-x\right)^{2}-x^{2}\\ & \implies & 3g\left(x\right) & =1-2x\\ & \implies & g\left(x\right) & =-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\\ & \implies & f\left(x\right) & =x^{2}-2\cdot\left(-\frac{2}{3}\left(1-x\right)+\frac{1}{3}\right)\\ &  &  & =x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3} \end{aligned}\)

Comments

Hättest du es so gemacht wie ich in meinem Kommentar vorgeschlagen hatte, dann hättest du dir die Berechnung des überhaupt nicht gefragten g(x) sparen können.

g(x)=f(1-x)-x^2 liefert g(1-x) = f(1-(1-x))-(1-x)^2 und in die erste Gleichung eingesetzt also f(x)+2*f(x)-2*(1-x)^2 = x^2, womit die Antwort auf die Frage nach dem Funktionstyp bereits ablesbar ist, falls erforderlich lässt sich f auch noch berechnen.

Answer 3

Aloha :)

Wir schauen uns zuerst die zweite Gleichung an:$$f(1-x)-g(x)=x^2\implies g({\color{blue}x})=f(1-{\color{blue}x})-{\color{blue}x}^2$$Für die erste Gleichung brauchen wir \(g(\pink{1-x})\) und setzen für \({\color{blue}x}\) den Wert \((\pink{1-x})\) ein:$$g(\pink{1-x})=f(1-(\pink{1-x}))-(\pink{1-x})^2=f(x)-(1-x)^2$$

Das können wir nun in die erste Gleichung einsetzen:$$f(x)+2\cdot g(1-x)=x^2\quad\big|\text{einsetzen}$$$$f(x)+2\cdot\left[f(x)-(1-x)^2\right]=x^2\quad\big|\text{Die eckige Klammer auflösen.}$$$$f(x)+2\cdot f(x)-2(1-x)^2=x^2\quad\big|+2(1-x)^2$$$$3\cdot f(x)=x^2+2(1-x)^2=3x^2-4x+2\quad\big|\div 3$$$$f(x)=x^2-\frac43\,x+\frac23$$