Kepler'sche Fassregel (Simpson-Regel)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie zum Integral
\( I=\int \limits_{0}^{\pi} \sin ^{4}(x) \mathrm{d} x \)
einen Näherungswert mit der zusammengesetzten Kepler'schen Fassregel, wobei der Integrand a_n genau \( n=5 \) Stellen ausgewertet werden soll.
Hinweis: \( \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Hallo zusammen, ich habe eine Frage und zwar: Was ist die Formel der zusammengesetzten Kepler'schen Fassregel für n = 5? Ich habe diese Formel aber für gerades n:

Zusammengesetzte Kepler'sche Fassregel:

\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x=\frac{h}{3}\left(f_{0}+4 f_{1}+2 f_{2}+4 f_{3}+\cdots+2 f_{n-2}+4 f_{n-1}+f_{n}\right). \) Nur für gerades \( n \) möglich!

Answer 1

Lies genau, \(n\) ist nur ein Variablenname, der kann auch sonstwie lauten. Es kommt nicht auf die Bezeichnung an, sondern auf die Bedeutung. Es soll an 5 Stellen ausgewertet werden, und das passiert, wenn Du in deiner Formel \(n=4\) wählst. Überzeuge dich selbst davon, schreib die Formel hin.

Comments

Alles klar. Danke :)

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Die Funktion \( f(x)=\frac{1}{x} \) soll im Intervall \( x \in[1,2] \) durch kubische interpolierende Splines approximiert werden. Dabei seien Stützstellen \( \left(x_{i}, f\left(x_{i}\right)\right) \) mit \( x_{i}=1+i h \) für \( i=0,1, \ldots, n \) und \( h=\frac{1}{n} \) gegeben.

a) Die Bestimmung des Splines \( s \) mit natürlichen Randbedingungen führt auf ein lineares Gleichungssystem \( A u=d \). Definieren Sie die Bedeutung der Unbekannten in \( u \) und geben Sie im Fall \( n=4 \) Formeln für die rechte Seite \( d \) sowie die Einträge in der Matrix \( A \) an und bestimmen Sie zudem die Zahlenwerte in der Matrix \( A \).

h ist 1/4 und nicht 1/3, oder? Hier steht ja nicht 4 Stellen oder so, sonder nur n=4..

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... für \( i=0,1, \ldots, n \) und \( h=\frac{1}{n} \) gegeben.

heißt, bei \(n=4\), die Stützstellen sind an den Punkten ... $$\underbrace{x_0,\, x_1,\, x_2,\,x_3,\,x_4}_{= 5 Stellen}$$... gegeben.

Und \(h=1/n = 1/4\), da das Intervall zwischen \(x_0\) bis \(x_1\) in 4 gleich breite Bereiche aufgeteilt wird.$$(x_0 \dots x_1)(x_1 \dots x_2)(x_2 \dots x_3)(x_3 \dots x_4)$$

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Add Natural Splines

yep, kommt dann wie

Die Matrix \(A^{16 \times 16}\) geb ich lieber nicht nicht an ;-)

Du sollest für neue Fragen auch einen neuen Post anlegen - so findet das niemand mehr!

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1. Mach eine neue Frage auf, wenn Du weiter Hilfe dazu brauchst.

2. Lies die Aufgabe genau, da steht wieviele Stützstellen genommen werden sollen (siehe Kommentar von @Werner-Salomon.

3. Der Spline soll gar nicht berechnet werden, und die gesuchte Matrix \(A\) ist auch nicht sehr groß (nicht \(16\times 16\). Steht alles in Deinem Skript. In die dortigen Formeln einsetzen.