Surjektivität zeigen, Dimensionsformel und folgern das T nicht injektiv sein kann

Question

Aufgabe:

Aufgabe: Sei T : R³ -> R₁[x] , (a,b,c) -> (a-c)x + b + c

ii) Zeigen Sie, dass T surjektiv ist.

iii) Benutzen Sie die Dimensionsformel, um dim(Ker(T)=1 zu folgern.

iv) Folgern Sie, dass T nicht injektiv sein kann.

(Bei der i habe ich gezeigt das T eine lineare Abbildung ist.)
Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe bei diesen drei Teilaufgaben. Bei der Surjektivität kenne ich zwei Wege, die ich hier jedoch nicht anwenden kann, zumindest weiß ich nicht wie.

1 Weg: wenn T injektiv wäre, könnte ich zeigen das die Dimension gleich ist und dann wäre es surjektiv (die Dimension ist hier aber 3 und 2 oder? Also würde das ohnehin nicht gehen.)

2 Weg: Wenn ich dim(Ker(T)=0 hätte, könnte ich die Dimensionsformel benutzen und dann wenn dim(im(T) = dim(R3) wäre, wäre es surjektiv. Aber das geht hier auch nicht.

Zur iii) Die dim(R3) ist ja 3. Wie bekomme ich dim(Im(T) heraus um die Formel anwenden zu können?

Zur iv) Kann ich das daraus folgern, dass laut iii) dim(Ker(T))=1 ist er aber für injektivität 0 sein muss?

Danke euch

Answer 1

Verwende die Definition der Surjektivität. Das heißt:

Sei \(p \in \mathbb{R}_1[x]\). Finde ein \(v\in \mathbb{R}^3\), so dass \(T(v) = p\) ist.

Comments

Mhh ich komm nicht drauf...

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Es ist immer gut, Beispiele auszuprobieren.

Finde also \((a,b,c\)) so, dass \(T(a,b,c)=3x+7\) ist. Danach sollte es auch allgemein klappen.

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Ok also (3,0,7) würde ja 3x+7 ergeben, da =(3-0)x+7+0 .

Ich verstehe nur nicht wie du auf 3x+7 kommst... Und wie genau soll ich das jetzt aufschreiben?

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Das war ein Beispiel(!!!), man denkt sich irgendwas aus und probiert halt mal. Um surjektiv zu zeigen, musst Du (Def. von surjektiv hast Du nachgeschlagen?) für beliebiges \(u,v\in\R\) ein \((a,b,c)\) finden, so dass \(T(a,b,c)=ux+v\)  gilt.

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T(a, b, 0) = a·x + b

Ich denke damit sollte klar sein das die Funktion surjektiv ist oder kann damit nicht jeder Funktionswert (jedes lineare Polynom) angenommen werden?

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Aha, achte auf die Details. Du bist ja anscheinend nicht sicher.

Vorgegeben ist \((u,v)\). Finde \((a,b,c)\), so dass \(T(a,b,c)=ux+v\)  gilt.

Also?

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Sei \(p \in \mathbb{R}_1[x]\).

Ferner seien \(p_0,p_1\in \mathbb{R}\), so dass \(p = p_1x + p_0\) ist.

Finde ein \(v\in \mathbb{R}^3\),

Seien \(v_1,v_2,v_3\in \mathbb{R}\), so dass \(v = \left(\begin{smallmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{smallmatrix}\right)\) ist.

so dass \(T(v) = p\) ist.

Das ist genau dann der Fall, wenn

        \((v_1-v_3)x + v_2+v_3 = p_1x + p_0\)

ist. Ein Koeffizientenvergleich liefert das LGS

        \(\begin{aligned}v_1-v_3&=p_1\\v_2+v_3&=p_0\end{aligned}\).

Löse das LGS.

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Ich subtrahiere die 1 Zeile von der zweiten und erhalte:

1 -1 =p1

0 +2 =p0-p1

Jetzt kann ich noch durch 2 teilen und habe v3=p0-p1/2.

Hier geht es aber nicht zufällig um lineare Unabhängigkeit oder?

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Warum so kompliziert? Hier geht es viel einfacher ohne LGS.

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@nudger

Damit ux+v gilt brauche ich T(u,v,0)?

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Genau. Mach Dir klar, dass die logische Abfolge von \((u,v)\) nach \((a,b,c)\) geht (darum ging es mir). Und achte auf die Formulierungen (hilft bei der Logik), es gilt nicht ux+v, sondern man erhält ux+v als T(a,b,c) mit (a,b,c)=(u,v,0).

Mach Dir das in Ruhe klar. Nicht alle Surjektivitäten gehen so leicht wie diese hier.

Der Rest Deiner Aufgabe geht mit Dimenionsbetrachtungen, dem Dimensionssatz und dem WIssen, dass \(\dim kern\,T =0 \iff T\) injektiv.

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Ok danke erstmal. Wenn @oswald seinen Ansatz zu Ende führen würde wäre das trotzdem toll, es schadet nie verschiedene Wege zu kennen.

Zur iii  bräuchte ich aber auch noch Hilfe.

Bei der iv) sage ich also einfach da Ker(T)=1 ist T nicht injektiv da er für injektivität 0 sein müsste korrekt?

Bei der iii weiß ich ja nicht was dim(im(T) ist, wie kann ich das dann einsetzen?

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Hier geht es viel einfacher ohne LGS.

Wie?

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Den Ansatz von @oswald kannst Du auch selbst zuende führen. Du musst Dir ja keine Lösung eines LGS vorturnen lassen, oder? Beachte, es kann ein anderes (a,b,c) rauskommen als das auf dem einfachen Weg. Macht aber nichts.

\(T\) surjektiv heißt, dass jedes Element in \(\R_1[x]\) als Bild angenommen wird, also ist \(im(T)=\R_1[x]\). Damit kennst Du hoffentlich \(\dim im(T)\) und mit dem Dimensionssatz ist alles klar.

Zu iv): Ja, genau wie Du sagst. Unter der Voraussetzung, dass das zitierte Resultat in der Vorlesung dran war.

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  Hier geht es viel einfacher ohne LGS.

Wie?

ist schon erledigt, siehe Kommentar oben von @mathecoach und mir.

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Ich habe die Beiträge gelesen. Mir ist das Vorgehen nicht so ganz klar. Insbesondere kommt mir \(c = 0\) sehr aus dem Hut gezaubert vor.

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@oswald Es ist doch legitim eine Lösung direkt abzulesen, wenn man das kann. Und das ist hier ja nicht schwer.

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Das LGS habe ich ja oben gelöst. Aber was sagt es mir jetzt? Was muss daraus kommen damit was gilt?

Zu iii) Ok also habe ich dann dim(im(T)=2. Und da dim(R3)=3 habe ich:

dim(U) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) also 3= dim(Ker(T)) + 2

->dim(Ker(T)) = 1. Wäre das so richtig?

iv) Alles klar, danke.

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iii) ist so richtig.

Nochmal: Mach Dir die logische Abfolge bei der Surjektivität klar. Beim LGS oben ist \((p_1x+p_0)\) vorgegeben und \((v_1,v_2,v_3)\) gesucht, so dass \(T(v_1,v_2,v_3)=(p_1x+p_0)\) ist (ich hatte dasselbe mit anderen Bezeichnungen vorgegeben).

Jede Lösung des LGS (und es gibt unendlich viele) erfüllt das gewünschte (und dient damit als Nachweis von surjektiv). Du hast es übrigens noch nicht gelöst, sondern nur ein paar Umformungen gemacht.

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Super.

Du sagst ja selbst, es gibt unendlich viele Lösungen. Folgt das nicht schon aus meinen Umformungen? Kann ich dann nicht schreiben: unendlich viele Lösungen -> also surjektiv?

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Kommt auf die genauen Umformungen an. Normalerweise wählt man sich eine Unbekannte als Variable und stellt dann nach den restlichen Unbekannten um.

Wenn(!) Du nachgewiesen hast (wenn!, hast Du noch nicht), dass es unendlich viele Lösungen gibt, ja, das reicht als Nachweis für surjektiv. Es ist aber in diesem Fall, wo wir nur eine brauchen, viel einfacher diese direkt durch geschickte Wahl anzugeben. Das ist klarer und sicherer als sich u.U. in Umformungen und dubiosen Argumentationen zu verstricken.

Wir haben (u,v,0) gefunden, mit T(u,v,0)=ux+v. Findest Du noch eine weitere Möglichkeit, ohne groß zu rechnen? Übrigens, das Finden eines weiteren (a,b,c) mit T(a,b,c)=ux+v würde direkt die Injektivität widerlegen.

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Ja nur meine Sorge ist, dass ich das beim nächsten Mal nicht sehe wenn eventuell T komplexer wird oder ähnliches.

Was fehlt mir denn im dem LGS noch um fertig zu sein? Es ist doch in Zeilenstufenform.

Eine weitere Möglichkeit sehe ich gerade nicht. Dachte an irgendwas mit -u aber geht dann nicht auf. Wie hättest du das LGS mit der Unbekannten zum Bespiel aufgestellt?

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Zeilenstufenform ersetzt keine Lösung. Die Lösungsmenge von unterbestimmten LGS (hier: 2 Gleichungen, 3 Unbekannte) gibt man normalerweise an wie ich oben erklärt habe. Ich hätte das LGS genauso aufgestellt (es gibt nur diese eine Möglichkeit), aber wie gesagt...

Versuch nochmal eine weitere Möglichkeit zu finden, ist auch keine rocket science, und würde zu Deiner Beruhigung beitragen.

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Also. Um T(a,b,c)=ux+v zu bekommen müssen wir ja zwingend mit dem c arbeiten(wenn wir jetzt eine andere Belegung wählen wollen) Also muss c=-u sein damit wenn wir hier (a-c)x + b + c u einsetzen wir wieder ux erhalten. Dann haben wir aber schon ux + u. Wäre das trotzdem ok? Dann könnten wir (0,v,-u) wählen und hätten ux + v + u.

Noch ganz kurz zurück zu meinem Startbeitrag. Wenn ich weiß das T injektiv ist, sind die 2 Wege völlig legitim bei der Argumentation oder? Hier ist T nur nicht injektiv und deswegen funktioniert das hier nicht so.

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\(\begin{aligned}v_1-v_3&=p_1\\v_2+v_3&=p_0\end{aligned}\)

Gleichungen addieren liefert

        \(v_1+v_2 = p_1 + p_0\).

Setzt man \(v_2 = p_0\), dann bekommt man \(v_1 = p_1\) und \(v_3 = 0\) als Lösung.

Natürlich kommt man mit hinreichend Erfahrung auf diese Lösung auch durch genaues Hinschauen. Das ist aber immer so. Und ich möchte nicht "Du musst einfach nur genau hinschauen" als Lösungsweg verkaufen.

Der Vorteil von solchen Formalismen wie linearen Gleichungssystemen ist, dass sie auch dann funktionieren, wenn die Erfahrung einen im Stich lässt.

das die Dimension gleich ist

Die Dimension ist nie gleich.

Um von Gleichheit zu reden, benötigst du mindestens zwei Objekte. Die Dimension ist aber nur ein Objekt.

Wenn die Dimensionen gleich wären, dann würde ich erst ein mal wissen wollen, welche Dimensionen du meinst.

wenn dim(im(T) = dim(R3) wäre, wäre es surjektiv.

Ja. Dazu brauchst du aber dim(Ker(T)) = 0 nicht.

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@oswald stimme im Prinzip zu, aber dieses LGS hat unendlich viele Lösungen, die hast Du ja auch nicht bestimmt (und es noch nicht mal erwähnt), sondern mit "setzt man \(v_2=p_0\)" genauso die Methode des scharfen Hinsehens verwendet.

@mathelehrling Du willst aber nicht ux+v+u haben, sondern ux+v.

Der Schluss c=-u ist nicht richtig, ich weiß auch nicht wie Du da vorgehst. Mit c arbeiten, ja. Aber nicht zwingend so (kann man machen, wird aber aufwendig).

Zu Weg 1 und Weg 2: Wenn wenn hilft hier nicht. Weg 1 entfällt, weil in der Aufgabe ja schon (später) steht, dass T nicht injektiv ist.

Der Dimensionssatz gibt einen Zusammenhang zwischen drei Dimensionen. Erstmal kennen wir nur eine davon. Damit ist rein logisch klar, dass wir mit dem Dim-satz nicht die anderen beiden Dimensionen bestimmen können. Genauso logische Folgerung: Mind. eine davon muss auf anderem Weg bestimmt werden. Dazu dient eben (ii).

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Finde ein \(v\in \mathbb{R}^3\), so dass \(T(v) = p\) ist.

Es geht also nicht darum, die komplette Lösungsmenge des LGS zu bestimmen, sondern lediglich darum, eine Lösung zu bestimmen.

sondern mit "setzt man \(v_2=p_0\)" genauso die Methode des scharfen Hinsehens verwendet.

Nein. Werte für Parameter einzusetzen ist ein übliches Vorgehen wenn man aus einer unendlichen Lösungsmenge eine konkrete Lösung haben will.

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Werte für Parameter einzusetzen ist ein übliches Vorgehen wenn man aus einer unendlichen Lösungsmenge eine konkrete Lösung haben will.

Genau. Und geschickterweise macht man das gleich am Anfang, nicht erst nach LGS-aufstellen und Umformen.

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@nedger

Tut mir leid, aber auf die andere Belegung komme ich nicht...

Um das ux zu bekommen müssen wir ja u entweder für a oder c einsetzen.

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Um das ux zu bekommen müssen wir ja u entweder für a oder c einsetzen.

nein, wieso? Vor dem x steht doch a-c.

Dann versuch noch eine.weitere Möglichkeit für 3x+7 zu finden (die Kraft eines Beispiels...).

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Sobald ich u nicht als a wähle kommt es ja später nochmal vor, da +b und +c. Also muss mein a doch u sein. Da ich kein vx will muss v b sein.

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Ich habe Dir das Beispiel empfohlen mit der Idee, dass Du schnell eine Lösung finden möchtest...