Wie kann man die Metrik finden?

Question

Aufgabe:

Gib eine Metrik auf dem R⁴ an und zeigen sie anhand der Metrik, ob gilt: "Jede abgeschlossene Teilmenge des R⁴ ist kompakt"

Problem/Ansatz:

Wie kann man die Metrik finden?

Comments

Der Aufgabentext wurde verändert.
Warum wird uns das nicht mitgeteilt?
Das hätte viel Arbeit erspart !!!!!

Denn so wie es da jetzt steht, ist es
geradezu trivial!

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Entschuldige ihr hattet ja schon so ausführlich geantwortet :(

Answer 1

Man projiziere den $R^4$ auf die 4-dimensionale

Einheitssphäre $S_4\subseteq R^5$ per

stereographischer Projektion. Durch Hinzufügen

eines $\infty$-Punktes zum $R^4$, der sozusagen

dem Nordpol der Sphäre entspricht, erhält man die

Einpunktkompaktifizierung $R^4\cup \{\infty\}$ von

$R^4$, die homöomorph zu $S_4$ ist. Man

übertrage nun die Metrik der Sphäre auf $R^4\cup \{\infty\}$ .

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Stereografische_Projektion

Man definiere also $d(x,y)=\|P_N^{-1}(x)-P_N^{-1}(y)\|$, wobei

$\|.\|$ die euklidische Norm im $R^5$ ist und $P_N^{-1}$

die Umkehrabbildung der stereographischen Projektion

mit Projektionszentrum im Nordpol der $S_4$ ist:

$P_N^{-1}(x)=\frac{1}{\|x\|^2+1}(2x_1,2x_2,2x_3,2x_4,\|x\|^2-1)$

Hier ist $\|x\|$ die euklidische Norm im $R^4$.

$d$ ist eine Verallgemeinerung der chordalen Metrik.

Comments

Bislang sehe ich dass die KompKtifizierung des R⁴ durch eine Metrik beschrieben werden kann. Ich sehe nicht, warum der R⁴ mit der Einschränkung dieser Metrik kompakt ist.

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Der $R^4$ ist nicht abgeschlossen in der Kompaktifizierung,

daher wird nicht verlangt, dass er kompakt ist.

Es geht ja darum, dass jede abgeschlossene Menge von $R^4$

in dem Raum kompakt sein soll.

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Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass R⁴ der Grundraum sein soll. Als solcher wäre er (auch) abgeschlossen.

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Das kann ich nachvollziehen. Wenn man es so wie du interpretierst,

dürfte es wohl eher keine Metrik geben, die die Eigenschaft hat,

dass jede abgeschlossene Teilmenge von $R^4$ kompakt ist.

Mittlerweile ist die Aufgabenstellung verändert worden.

Wäre schön gewesen, wenn man das mitgeteilt hätte !!!!

Answer 2

Eine Metrik des R⁴

$$d(x, y) = \sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2} + \left(x_{2}-y_{2}\right)^{2} + \left(x_{3}-y_{3}\right)^{2} + \left(x_{4}-y_{4}\right)^{2}}$$

Jede abgeschlossene Teilmenge des R⁴ ist kompakt

Die Aussage ist falsch. Jede beliebige Gerade im R⁴ ist abgeschlossen, aber nicht kompakt.

Comments

Natürlich ist die Aussage falsch. Deswegen soll man ja

nach einer Metrik suchen, in der die Aussage wahr ist !

Mag sein, dass es solch eine Metrik nicht gibt,

aber woher weiß man das dann.

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Dort steht nicht, dass man nach einer Metrik suchen soll, in der die Aussage wahr ist. Woher hast du die abgewandelte Aufgabenstellung?

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Gebe eine Metrik auf dem R4 an und gilt "Jede abgeschlossene Teilmenge des R4 ist kompakt"

Also soll man eine Metrik angeben. Statt ...und gilt ...

habe ich, damit der Satz einen Sinn gibt, fortgesetzt

... so dass jede abgeschlossene Menge des R4 kompakt ist.

Irgendeine Metrik anzugeben, schien mir zu simpel.

Z.B. ist $D(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ für jede Metrik $d$

eine zur Standardmetrik nicht äquivalente

Metrik des $\mathbb{R}^4$, die die Standardtopologie

induziert.

Sollte hingegen gemeint sein:

Gebe eine Metrik auf dem R4 an und prüfe, ob

folgende Aussage gilt: "Jede abgeschlossene Teilmenge des R4

ist kompakt", dann hast du die passende Antwort geliefert.

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@René123: Wegen der verschiedenen Interpretationen wäre es

gut, wenn du hier den Originaltext der Aufgabe reinstellst.

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Eine ausführliche Antwort habe ich gerade erstellt.

Answer 3

Man definiert die Metro über das Skalarprodukt d²=<v,v>

lul

Comments

Das verstehe ich nicht. Unter der euklidischen Metrik

gilt: der ganze Raum ist abgeschlossen, aber nicht kompakt.