Wie kommt man auf die Lösung? Matrix Inversion

Question

Aufgabe:

Wie kommt man auf die Lösung?

\( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & -G3 * G1 \\ 1 & 1-G3*G5 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} G1 & G2 \\ G5 & G4 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} y1\\y2 \end{pmatrix} \)

Wie lautet die Lösung?

Answer 1

Was ist denn gesucht, \(y1,y2\)?
Dann Matrixprodukt ausrechnen und dann das LGS lösen.

Da 2x2, kann man auch mal die Inverse benutzen (sonst natürlich nicht, weil zu aufwendig, sondern mit den aus der Schule bekannten Methoden (Einsetzungsverfahren oder was auch immer), oder mit Gauß-Algorithmus).

Ist mühselig, aber so ist das mit Anwendungsaufgaben. Ergebnis ist (auch nicht von Hand gerechnet):

\( \frac{1}{\left(G_1G_3-G_3G_5+1\right)(G_1\cdot G_4-G_2\cdot G_5)}\left(\begin{array}{lll}G_2-G_3 G_4 G_5+G_4 & G_1G_3 G4-G2 \\ -G_1+G_3 G_5^2-G_5 & G_1-G_1 G_3 G_5\end{array}\right) \begin{pmatrix}y1 \\ y2\end{pmatrix}\)

Answer 2

Du könntest von jeder Matrix einzeln die Inverse bilden. Dabei ist vermutlich die Darstellung über die Adjunkte von Vorteil.

https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix#Darstellung_%C3%BCber_die_Adjunkte

Comments

PS: Es ist nicht erforderlich, die Koeffizienten und die Matrizen zusammenzufassen.