Beweise: 5-stellige Zahl ab0ab mit einer Null in der Mitte ist teilbar durch 7.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Aufgabe: Denke dir eine zweistellige Zahl aus. Schreibe diese Zahl zweimal hintereinander auf und dazwischen eine Null. Eine so entstandene fünfstellige Zahl ist immer durch 7 teilbar.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich fachmathematisch darlegen, dass das stimmt?

Comments

vgl:

https://www.matheretter.de/wiki/teilbarkeit-durch-7

Answer 1

Sei x eine 2-stellige Zahl, dann hat die in der Aufgabe

zu bildende Zahl den Wert

\(x\cdot 1000 + x=x\cdot 1001=x\cdot 143\cdot 7\).

Comments

Kannst du das bitte erläutern? Ich verstehe davon leider gar nichts :(

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Was gibt es da noch zu erläutern?

Nimm zum Beispiel x=69. Dann heißt die entstandene Zahl 69069 = 1001·69=143·7·69. Mach dir selber weitere Beispiele, die natürlich den Sachverhalt nicht beweisen aber verdeutlichen.

Oder willst du wissen, wie man darauf kommt?

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Wenn du aus einer zweistelligen Zahl eine 5-stellige machen willst,

kannst du sie um 3 Stellen nach links schieben, also mit 1000

multiplizieren und da die beiden ersten Stellen mit den beiden letzten

Stellen übereinstimmen sollen, musst du die zweistellige Zahl

dazuaddieren.

Sei x=51. Dann soll die Zahl 51051 gebastelt werden:

\(51\cdot 1000=51000\). Nun x addiert:

\(51000+51=51051\). Wir haben also Folgendes gemacht:

\(x\cdot 1000+x\). Nun können wir \(x\) ausklammern:

\(x\cdot 1000+x=x\cdot 1000+x\cdot 1=x\cdot 1001\) und

\(1001\) ist durch 7 teilbar.

Answer 2

Hallo,

ein paar Beispiele:

17017; 73073, 61061 und 99099 sollen durch 7 teilbar sein.

Um zu zeigen, dass alle so gebildeten Zahlen durch 7 teilbar sind, schreibe ich die Zahlen als Produkt.

17017=17•1001

73073=73•1001

61061=61•1001

99099=99•1001

Da die jeweils ersten Faktoren nicht durch 7 teilbar sind, untersuche ich den gemeinsamen Faktor 1001.

1001=7•11•13

Da ist die gesuchte 7 ja. Also sind alle Zahlen, die auf die beschriebene Art gebildet werden, durch 7 teilbar.

Nun versuche ich es "fachmathematisch".

Die zweistellige Zahl sei 10a+b.

Die fünfstellige Zahl ist dann

(10a+b)•1000 + (10a+b)•1

= (10a+b)•(1000+1)

= (10a+b)•1001

=(10a+b)•7•11•13

=7•z     mit z=(10a+b)•11•13

:-)

Answer 3

Die Zahl mit der Ziffernfolge "a b 0 a b" ist ein Vielfaches von 1001 und damit durch 1001 teilbar.

Ist das soweit klar?

1001 wiederum ist allerdings ein Vielfaches von 7 und damit durch 7 teilbar.

Daher ist auch die Zahl mit der Ziffernfolge "a b 0 a b" durch 7 teilbar.

Wie schreiben mal

ab = 10a + b

Dann gilt für die 5 stellige Zahl

ab * 7 * 143

Tipp das mal in den Taschenrechner ein, wobei du ab durch eine beliebige Zweistellige Zahl ersetzt.

Comments

Danke @ermanus und Der_Mathecoach!! Für mich ist das nicht so einfach und die Erklärung war sehr hilfreich!

Kannst du vielleicht auch noch erklären, was das 143 · 7 in diesem Zusammenhang bedeutet?

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Kannst du vielleicht auch noch erklären, was das 143 · 7 in diesem Zusammenhang bedeutet?

143 · 7 ist 1001.

Es ging darum, ob die fünfstellige Zahl durch 7 teilbar ist. Wir haben festgestellt, dass die fünfstellige Zahl durch 1001 teilbar ist (bzw. dass sie ein Vielfaches von 1001 ist). Da 1001 ein Vielfaches von 7 ist (1001 ist  143 · 7), ist die fünfstellige Zahl wegen der Teilbarkeit dorch 1001 sowohl durch 143 (was für die Aufgabe nicht weiter von Bedeutung ist) als auch durch 7 teilbar.

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Ich habe oben geschrieben:

1001 wiederum ist allerdings ein Vielfaches von 7 und damit durch 7 teilbar.

Ich rechne das mal vor und du kannst das evtl. mit dem Taschenrechner nachrechnen, weil im Kopf ist das ja so schwer.

1001 : 7 = 143 
-7
——
30
-28
——
  21
-21
  ——
  0