Gibt es hierfür Formeln oder wie brauche ich die Vektoren?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist und berechnen Sie den Flächeninhalt.
a) A(2|1|1), B(5|2|3), C(3|0|0)

Problem/Ansatz:

Wie soll ich zeigen, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Gibt es hierfür Formeln oder wie brauche ich die Vektoren ?

Comments

A(211|1), B(5|2|3), C(3|0|0)

Die Koordinaten von A sind falsch.

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Korrigiert, danke !

Answer 1

Ist der Winkel zwischen zwei Vektoren ein rechter Winkel, dann ist das Skalarprodukt dieser Vektoren null, weil der Kosinus eines rechten Winkels 0 ist.

Answer 2

Hallo,

bestimme die Vektoren AB, AC und BC.

Wenn der rechte Winkel bei A liegen sollte, muss AB•AC=0 sein.

Du musst also maximal drei Skalarprodukte bilden.

Du kannst aber auch die Seitenlängen berechnen und prüfen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

:-)

Answer 3

A(2|1|1), B(5|2|3), C(3|0|0)

Stelle die Richtungsvektoren auf

AB = B - A = [5,2,3] - [2,1,1] = [3,1,2]

AC = C - A = [1,-1,-1]

Zwei Vektoren sind senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist

AB * AC = [3,1,2] * [1, -1,-1] = 3 + (-1) + (-2) = 0

Damit ist der Winkel bei A 90 Grad und das Dreieck ist rechtwinklig.

Skizze

Comments

Und wie berechne ich jetzt den Flächeninhalt ?

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Fläche eines Dreiecks.

A = 1/2 * g * h = 1/2 * |[3,1,2]| * |[1,-1,-1]| = 1/2·√42 = 3.240

Dabei ist |[3,1,2]| = √(3^2 + 1^2 + 2^2) der Betrag des Vektors und damit seine Vektorlänge.