Kugeln aus einer Urne ziehen - Nachvollziehen der Musterlösung

Question

Aufgabe:

Eine Urne enthält Kugeln (n > 2), von denen zwei schwarz und der Rest weiß sind. Aus der Urne werden nun der Reihe nach Kugeln gezogen,

1) wobei die gezogene Kugel nach der Ziehung wieder in die Urne gelegt wird,

2) wobei die gezogene Kugel nach der Ziehung NICHT wieder in die Urne gelegt wird.

a) Sei konkret n = 20. Wie wahrscheinlich ist bei 1) bzw. bei 2), dass genau bei der sechsten Ziehung zum ersten mal eine schwarze Kugel gezogen wird?

b) Geben Sie für allgemeines n eine Formel für die Wahrscheinlichkeit bei 1) bzw. bei 2) an, dass genau bei der r-ten Ziehung zum ersten mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

Hinweis zu 2): Hier kann r ≤ n − 2 angenommen werden.

Tipp zu 2): Bei der r-ten Ziehung sind noch n − r + 1 Kugeln in der Urne.

Problem/Ansatz:

Wieso steht in der Lösung zu der a) 1) (18/20)^5 * 2/20

und zu der 2) 18/20 * 17/19 * 16/18 * 15/17 * 14/16 * 2/15

Also wie setzen sich die Werte von der 1) und 2) zusammen? Könnte mir das bitte jemand genau erklären?

Answer 1

Baumdiagramm mit 6 Ebenen. Auf den ersten 5 Ebenen wird eine weiße Kugel gezogen. Auf der sechsten Ebene wird eine schwarze Kugel gezogen.

Comments

Könnte mir das bitte jemand genau erklären?

Mit deiner Antwort kann ich rein gar nichts anfangen

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Baumdiagramme: https://www.youtube.com/watch?v=rhfcHlaDzOE

Answer 2

a) Sei konkret n = 20. Wie wahrscheinlich ist bei 1) bzw. bei 2), dass genau bei der sechsten Ziehung zum ersten mal eine schwarze Kugel gezogen wird?

Verstehst du das die Bedingung ist das bei den ersten 5 Ziehungen jeweils eine weiße Kugel gezogen werden muss und bei der 6. Ziehung eine schwarze Kugel gezogen werden muss?

Wenn du das nicht verstehst, dann erkläre mal wie du die Frage verstehst?

Gemäß der Pfadmultiplikationsregel werden die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm multipliziert.

Also

P = 18/20 * 18/20 * 18/20 * 18/20 * 18/20 * 2/20 = (18/20)^5 * 2/20 ≈ 0.05905

Comments

Alles klar, vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habe es jetzt verstanden, das obige Video hat es doch nochmal bisschen genauer erklärt!

Answer 3

1a) 5-mal weiß, dann schwarz

p(weiß) = 18/20

p(schwarz) = 2/20 = 1/10

Die WKT ändert sich nicht bei jedem Zug.

(18/20)^5* 1/10

2a) 18/20* 17/19*16/18*15/17*14/16*2/15

1b) [(n-2)/2]^(r-1) * 1/10

2b) (n-2)/n *(n-3)/(n-1)* ...*2/(n-r+1)