Vektorraumhomomorphismen, zu welchem Raum/Körper gehört welche Verknüpfung?

Question

Folgende Definition ist gegeben:

Es seien V, W Vektorräume über K.

Ein K-Vektorraumhomomorphismus ist eine Abbildung φ: V → W.

Soweit so gut.

Nun sind folgende Regeln definiert:

1. ∀ v, v' ∈ V: φ(v + v') = φ(v) + φ(v')

2. ∀ a ∈ K, v ∈ V: φ(av) = aφ(v)

Aber hier bin ich ein wenig verwirrt.

φ bildet ja Elemente aus den Vektorraum V in den Vektorraum W ab. Jedoch verwirren mich die Verknüpfungen ein wenig.

Nehmen wir z.B. : φ(v +₁ v') = φ(v) +₂ φ(v')

Wäre hier die +₁ die Vektoraddition von V, oder die Vektoraddition von W (Gibt es da überhaupt einen Unterschied zwischen Vektoradditionen von verschiedenen Vektorräumen?), oder wäre es die Körperaddition von K?

Die gleiche Frage stelle ich mir auch beim +₂ und auch bei den multiplikativen Verknüpfungen in der zweiten Regel.

Und was für ein Element kommt überhaupt am Ende dabei heraus, immer ein Vektor aus W?

Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Comments

Hat sich geklärt, der Professor geht in der nächsten Vorlesung genau auf dieses Thema ein.

+₁ wäre die Addition in V

+₂ wäre die Addition in W

Analog für die Multiplikation.

Und da die Vektoraddition von W natürlich auch auf W abbildet ist das Ergebnis ein Vektor in W.

Answer 1

φ(v +₁ v') = φ(v) +₂ φ(v')
Wäre hier die +₁ die Vektoraddition von V

Ja, weil v und v' Elemente aus V sind.

Gibt es da überhaupt einen Unterschied zwischen Vektoradditionen von verschiedenen Vektorräumen?

Ja.

Die gleiche Frage stelle ich mir auch beim +₂

Schau dir an, aus welchen Strukturen die Elemente kommen, die miteinander verknüpft werden. Das gibt dir Aufschluss darüber, welche Verknüpfung gemeint ist.

φ(v) und φ(v') kommen aus W (weil φ von V nach W abbildet), also ist die Addition in W gemeint.

Und was für ein Element kommt überhaupt am Ende dabei heraus, immer ein Vektor aus W?

Ja,

Wenn du zwei Elemente aus W addierst, dann ist das Ergebnis ein Element aus W

Wenn du ein Element aus K mit eine W multiplizierst, dann ist das Ergebnis ein Element aus W.