Wieso darf man den Kern noch dazu addieren, bzw. Elemente von diesem?

Question

Folgende Bijektion ist in der Vorlesung gegeben mit φ: V → W Homomorphismus und v ∈ V:

Kern φ → φ^-1({φ(v)}), u ↦ v + u

und es gilt:

φ^-1({φ(v)}) = v + Kern φ

Ich habe gerade Probleme beim Verständnis. Ich schildere mal meinen Gedankengang, vielleicht könnt ihr mir sagen, wenn ich etwas falsch verstehe bzw. mir beim endgültigen Verständnis helfen.

Also. Der Kern φ ist ja ein Untervektorraum von V. Es sind all die Elemente aus v die mit φ(v) auf den Nullvektor vom Vektorraum W abgebildet werden.

Diese Elemente werden hier u genannt.

Sie werden nun auf v + u abgebildet, wobei v ein beliebiges Element aus V ist, und u ein beliebiges Element aus dem Kern φ ist.

Mein Verständnis endet jedoch bei dem Teil: φ^-1({φ(v)}). Also {φ(v)} bezeichnet ja an sich alle Vektoren w aus W für die gilt φ(v) = w mit v aus V. Es ist also an sich das Bild φ (?). Nun wird von jedem Vektor w wieder das Urbild durch φ^-1 gebildet. Insgesamt hat man also das Urbild vom Bild φ.

Ich verstehe aber einfach nicht, wieso hier noch ein u aus dem Kern hinzu addiert wird.

Das Gleiche gilt dann auch für: φ-1({φ(v)}) = v + Kern φ. Es kann also nicht nur ein u aus dem Kern dazu addiert werden, sondern der ganze Kern?

Das bringt mich dann auf die Idee, dass der Kern φ aus irgendeinem Grund einfach eine Art neutrales Element ist. Das würde ja noch Sinn im Vektorraum W machen, da der Kern ja nach Definition die Nullvektoren abbildet. Aber hier findet ja eine Addition im Vektorraum V statt und die Elemente v aus V welche im Vektorraum W dann φ(v) = 0 ergeben, müssen im Vektorraum V ja nicht unbedingt gleich Null sein.

Wo liegt hier mein Denkfehler?

Comments

Ich glaube ich verstehe es jetzt. Es geht eigentlich darum zu zeigen, dass das Urbild von einem beliebigen Vektor w aus W, welcher ja durch φ(v) mit v aus V erzeugt wurde, an sich äquivalent dazu ist, dass man im ursprünglichen Vektorraum V zum Vektor v jedes beliebige Element aus dem Kern φ addiert. Denn dann gilt: φ(v) = w, aber φ(v+u) mit u aus Kern φ ist: φ(v+u) = φ(v) + φ(u) = w + 0 = w. Also das Gleiche wie: φ-1({φ(v)}) wenn man dies mit jedem u aus Kern φ macht.

Ist das so richtig?

Answer 1

Richtig. Naja, richtig gemeint.

Du solltest genau auf die Begriffe achten, das vermeidet auch manche Verwirrung.

Mit \(\varphi(v)\) wird nichts abgebildet, sondern mit \(\varphi\). Und Urbilder sind nicht "an sich äquivalent" zu irgendwas. Sondern die Urbildmenge von \(\varphi(v)\) besteht aus \(v + kern\), weil \(v+\) ein beliebiges Element des kerns dasselbe Bild unter \(\varphi\) hat wie \(v\) selbst, wie du ja vorgerechnet hast.